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金融风险管理讲义

第一讲关于主观风险态度的根底知识：偏好、效用函数与风险态度

第一章偏好与效用函数的存在性

一、偏好与无差异曲线

〔一〕关于偏好的根本概念

由于效用是一种纯粹的主观心理感受，我们无法看到人们的主观感受，能看到的只是人们的选择行为。而偏好〔preference〕是建立在消费者可以观察到的选择〔choice〕行为之上的，对于不同的商品消费组合〔消费束〕我们正式给出偏好的定义。

定义1.1偏好

令C为商品消费备选方案的集合，C中有N种可供选择的商品。C是N维实空间中的一个非负的子集，一般都假定C为闭集和凸集。而、、……是它的子集，或者称之为消费束〔consumebundle〕。我们可以在消费束的集合上建立用一种两维的关系〔binaryrelation〕表述出偏好关系〔preferencerelation〕：

〔1〕偏好关系：如果消费者认为至少与一样好，记作，读作“至少一样好”〔有文献中也读作“弱优于”〕。

〔2〕严格偏好关系：如果消费者在任何情况下都认为一定比好，我们就说优于，记作，读作“优于”〔有文献中也读作“严格优于”〕。

〔3〕无差异关系：如果消费者认为和一样好，我们就说与无差异，记作，表示无差异。此时同时满足和。

定义1.2理性偏好

假设偏好关系满足两个性质：〔1〕完备性：对于任意，要么，要么，或者两个式子都成立〔此时意味着和无差异〕；〔2〕传递性：对于任意，如果，且，那么有。那么我们说偏好关系是理性的。

定义1.3无差异曲线

商品消费备选方案C的集合中的某一个消费束，所有和无差异的消费束组成的集合就是在消费束水平上的无差异曲线。

〔二〕偏好的假设和无差异曲线形状

在理性偏好的前提下，可能会出现字典式排序偏好而不存在无差异曲线。字典式排序偏好就是说某一种消费品对于该消费者来说是不可或缺的,而其他消费品的任何增加都无法弥补该种消费品一点点的减少。这种偏好关系类似一本字典的编撰方式，先填满字母A再考虑字母B。这种偏好也可以满足理性偏好的假设，但是在这种情况下，没有任何两种有区别的消费束是无差异的,因此无差异曲线就是一个点。为了排除字典式偏好得到连续的无差异曲线要假定偏好的连续性。

1、连续性〔continuity〕假设：对于任何和，集合和是闭集。这个假设保证偏好不会出现突发性的逆转，比方对于而言，“至少一样好”集和“非优于”集都是闭的，无差异是二者的交集，因此也是闭的。

给出了连续性的假设后，我们可以得到图5.1所示的无差异曲线〔以二维为例〕：

图1.1满足完备性、传递性和连续性的无差异曲线

图1.1给出的无差异曲线的形状和我们通常看到的也很大区别，比方图中的无差异曲线有一个阴影的区域，为了得到性能良好的无差异曲线，还要对偏好作进一步的假定。

2、局部非饱和性〔localnonsatiation〕假设：对于任何和，总存在，

使得。这意味着在消费束附近任意小的球形开区间总存在着优于本身的消费束，因此无差异曲线不可能为区间，图5.1中的阴影局部在局部非饱和性的假设下是不可能代表无差异曲线的。

虽然我们在第二章中得到的无差异曲线是正斜率的，但这是因为横坐标表示风险，纵坐标表示期望收益，行为人喜欢高的期望收益但厌恶风险，在无差异水平必然两者要么同时增加要么同时减少，因此无差异曲线为正斜率。在一般的消费理论中，对于各种消费品都假定能够带来正的满足感，这就是单调性的假设。

3、单调性〔monotonicity〕假设：对于任何和，如果有，那么；而如果，那么那么称为严格单调性。单调性说明如果两个消费束，其中一个消费束中的每一种商品至少和另一个消费束中的一样多，那么至少和一样好；严格单调性说明如果中的商品至少有一种比另一个消费束中的多，而其他商品又不比中的少，那么就优于。

单调性说明无差异曲线应该有正斜率，一种消费商品的增加如果另一种消费不变的话那么新的消费束就会优于原来的消费束，为了得到无差异的关系另一种商品的数量应该下降，这意味着无差异曲线应该有负斜率，是不可能出现上下波动的情形的。

图1.2满足假设1、2、3的理性偏好无差异曲线

图1.2给出的无差异曲线的形状和我们熟悉的状况已经很接近，但有一段却是凹向原点的，为了得到性能良好的无差异曲线，我们还要加上最后一个假设。

4、凸性〔convexity〕假设：对于任何，如果有，那么，对于任意的，有。如果，有，那么称为严格凸性。凸性是一个很强的假设，它意味着无差异曲线是个凸函数，而所谓“边际替代率递减规律”〔diminishingmarginalratesofsubstitut