初中数学模型--《面积问题之”水平宽、铅锤高“模型的实战分析》.docx

勤奋是一种品质，优秀是一种习惯

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三角形面积问题之“宽高公式”的实战分析

高邮市赞化学校 段广猛

《三角形面积问题之“宽高公式”的两种证明方法》一文中，主要介绍了三种情形下“宽高公式”模型的证明.

如图1、图2、图3所示，S

?ABC

?1?OC?AD，其中OC表示B、C两点在水平方向

2

上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AD表示点A到边BC在竖直方向上的距离，

简称这个三角形的“铅锤高”.于是三角形的面积S=1?水平宽?铅锤高，这个公式不妨称

2

为“宽高公式”.

细心观察上面三种情形，操作方式都是过点A作平行于y轴的直线交边BC所在的直线于点D，则AD就是“铅锤高”；而B、C两点之间的水平距离，即线段OC就是“水平宽”.在实际应用中，笔者不建议学生固化思维，强记这里的结论而直接使用.一方面，这个公式课本上并没有直接出现，中考时能不能直接使用值得商榷；另一方面，对于图2的结论，大部分学生普遍可以接受，但是若是不知道这个公式推导的来龙去脉而强行直接使用，图1及图3的结论，多数学生是很难理解原理而导致不能正确使用.

更何况，这三种情形下的推导过程也是相辅相成、思想统一的，都采用了“改斜归正”及“割补法”的思想，而这两种思想方法又是极其重要的解题原理，需要同学们认真深刻体会的，所以笔者强烈建议学生体会这里的推导原理，以达到灵活使用的目的.

1其实，掌握了原理，怎么割补三角形都可以，只要过三角形的三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线都可以实现面积处理，仅仅是繁简程度不一而已，下文会一一提及.

1

如图4、图5、图6所示，S?ABC?2?BD?AE，其中BD表示点B到边AC在水平方向上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AE表示A、C两点在竖直方向上的距离，

简称这个三角形的“铅锤高”.于是依然有三角形的面积S=1?水平宽?铅锤高.

2

这三张图的操作方式都是过点B作平行于x轴的直线交边AC所在的直线于点D，则BD就是“水平宽”；而A、C两点之间的竖直距离，即线段AE就是“铅锤高”.

实际上，过点C作平行于坐标轴的直线，无论是平行于x轴，还是平行于y轴，最终都可以实现对于此三角形的面积处理，有时是“割”即“面积加法”；有时是“补”，即“面积减法”.由此可以看出，不用强记公式，只要过三角形的三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线，无论是平行于x轴，还是平行于y轴，都可以实现面积处理.图7提供了一种方式，

S?ABC

?1?CD?AE.

2

那么问题来了，割补方式千变万化，而且好像都可行，在解题实战中，难道就随意割补吗？非也！理论上是都可行，但计算量绝不相当！

我们知道，“在变化中抓不变量”也是一种重要的思想方法，“以不变应万变”.此时再结合这个解题策略，就可以使计算过程“如履平地”.

1在三角形三个顶点中，一般情况下会有两个定点和一个动点，抓住这两个定点就是关键所在.如图8或图9所示，点B和点C是两个定点，而点A是一个动点.这时，我们就应该过动点A作平行于y轴或者平行于x轴的直线交直线BC于点D，利用B、C两个定点求出直线BC的解析式，再设出动点A的坐标，将横坐标或者纵坐标代入直线BC的解析式，

1

表示出点D的坐标，进而容易表示出线段AD.在图9中，S?ABC?S?ACD?S?ABD=2AD?CF

?1AD?BE?1AD?(CF?BE)?1AD?(OE?BE)?1AD?OB，因为B、C都是定点，

2 2 2 2

故OB是常值，而且直线BC的解析式易求，进而AD的长度好表示.

若是你“不信邪”，偏偏如图10所示那样“割补”，我想说“此路依然行得通”，但与前面的两种方法相比，一烦在“水平宽”BD上，需要求出直线AC的解析式，理论上肯定行得通，这条直线的解析式会因为点A是动点而导致含有参数，计算量较大；二烦在“铅锤高”AE上，也是因为点A是动点而导致含有参数.“罪魁祸首”都在动点A上，而“元凶”就是因为一开始过定点B进行了“割补”.需要特别说明的是，这种方法并非是错误的，仅仅是计算量较大些，其操作依然是可行的.

下面以2016年苏州中考压轴题第（2）问为例具体谈谈“宽高公式”的使用.

（2016?苏州）如图11，直线l：y=-3x+3与x轴