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第9讲最值问题之费马点与加权费马点

知识点精讲

到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题．

皮耶·德·费马（PieeredeFermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作．他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”．费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个．著名的数学史学家贝尔（E．T．Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为“业余数学家之王”．贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星．

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的．托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马·托里拆利·斯坦纳问题，这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义．

结论：

（1）平面内一点P到△ABC三个顶点的之和为PA＋PB＋PC，当点P为费马点时，距离之和最小．

特殊三角形中：

（2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧作正三角形ABC1，AB1C，BCA1，然后连接AA1，BB1，CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点．

（3）若三角形有一内角大于或等于120°，则此钝角的顶点就是所求的费马点．

（4）当△ABC为等边三角形时，此时内心与费马点重合．

下面简单说明如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小？这就是所谓的费尔马问题．

这时∠BPA＝180°－∠APP′＝180°－60°＝120°，∠APC＝∠AP′C′＝180°－∠AP′P＝180°－60°＝120°，∠BPC＝360°－∠BPA－∠APC＝360°－120°－120°＝120°，因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离之和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，则△APP′为等边三角形，AP＝PP′，P′C＝PC，所以PA＋PB＋PC＝PP′＋PB＋P′C′．

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA＋PB＋PC最小．

加权费马点模型

“加权”的意思就是“乘以权重”，即“乘以系数”的意思．

加权费马点指三角形三个顶点的距离乘以系数时和的最小值问题．

限于初中知识的局限性，加权费马点问题三角形三个顶点的距离乘以的系数是特殊的勾股系数，及他们的平方关系，而出题角度上由于最后计算部分只能是特殊角如120°，135°，150°的角度．

通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．

【模型解析】

在△ABC中有一点P，连接AP，BP，CP，求aPA＋bPB＋cPC的最小值．

数据处理原则

求aPA＋bPB＋cPC的最小值（a、b、c为整数）

①先将aPA＋bPB＋cPC的系数化简成一个系数为一的系数，通常这条线段不作为旋转P与另两个端点的三角形进行旋转特殊角度进行分析．

②常见角度处理原则

∠ACB为30°和旋转角∠ACA′＝60°形成∠BCA′＝90°；

∠ACB为30°和旋转角∠ACA′＝90°形成∠BCA′＝120°；

∠ACB为30°和旋转角∠ACA′＝120°形成∠BCA′＝150°；

∠ACB为45°和旋转角∠ACA′＝90°形成∠BCA′＝135°；

∠ACB为60°和旋转角∠ACA′＝60°形成∠BCA′＝120°；

∠ACB为60°和旋转角∠ACA′＝90°形成∠BCA′＝150°；

∠ACB为90°和旋转角∠ACA′＝60°形成∠BCA′＝150°．

这些较为常见的特殊角组合，在初中的知识结构中能在直角三角形中进行求解线段长度．一般需要将加权的线段转化为首尾顺次相接，在