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椭圆双曲线的焦点三角形.pptx

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椭圆、双曲线的焦点三角形;学习目标:

注重对焦点三角形与圆锥曲线的联系,轨迹问题,定值、定点问题的考查;

注重考查分析问题问题解决问题的能力;

注重考查方程思想、数形结合思想、分类讨论、转化化归思想的应用的能力,对学生的抽象概括能力、推理论证能力和运算能力都有较高的要求.;诱学指导:;合作探究:;二、双曲线的焦点三角形的面积;三、焦点三角形中的轨迹问题:;【分析】点F1关于∠F1PF2的角平分线PM的对称点M′在直线PF2的延长线上,故|F2M′|=|PF1|﹣|PF2|=2a,又OM是△F2F1M′的中位线,故|OM|=a,由此可以判断出点M的轨迹.

【解答】解:点F1关于∠F1PF2的角平分线PM的对称点M′在直线PF2的延长线上,

故|F2M′|=|PF1|﹣|PF2|=2a,

又OM是△F2F1M′的中位线,

故|OM|=a,

点M的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆,点M的轨迹方程为x2+y2=a2.

【点评】本小题主要考查轨迹方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,解答关键是应用角分线的性质解决问题.

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2.P是以F1,F2为焦点的椭圆上一点,过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹是

;【分析】P是以F1,F2为焦点的椭圆上一点,过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为M,延长F2M交F1延长线于Q,可证得PQ=PF2,且M是PF2的中点,由此可求得OM的长度是定值,即可求点M的轨迹的几何特征

【解答】解:由题意,P是以F1,F2为焦点的椭圆上一点,过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为M,延长F2M交F1延长线于Q,得PQ=PF2,

由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,故有PF1+PQ=QF1=2a,

连接OM,知OM是三角形F1F2Q的中位线

∴OM=a,即点M到原点的距离是定值,由此知点M的轨迹是圆

【点评】本题考查求轨迹方程,解本题,关键是证出OM是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出QF1的长度,进而求出OM的长度,再利用圆的定义得出点M的轨迹是一个圆.本题考查了椭圆的定义,圆的定义,综合性强,题后应注意总结一下本题求解中的转化思路.

;(二)切点的轨迹:;【分析】充分利用平面几何图形的性质解题.因从同一点出发的切线长相等,得PM|=|PN|,|F1M|=|F1D|,|F2N|=|F2D|,再结合双曲线的定义得|F1D|﹣|F2D|=﹣2a,从而即可求得△PF1F2的内心的横坐标.

【解答】记△PF1F2的内切圆圆心为C,

边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、D,

易见C、D横坐标相等,

|PM|=|PN|,|F1M|=|F1D|,|F2N|=|F2D|,

由|PF2|﹣|PF1|=2a,

即:|PM|+|MF1|﹣(|PN|+|NF2|)=﹣2a,

得|MF1|﹣|NF2|=﹣2a即|F1D|﹣|F2D|=﹣2a,

记C的横坐标为x0,则D(x0,0),

于是:x0+c﹣(c﹣x0)=﹣2a,

得x0=﹣a,

则内切圆的圆心的横坐标为﹣a.

故选A.

【点评】本题主要考查了双曲线的定义、双曲线的应用及转化问题的能力,属于中档题.

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当堂训练:;随堂检测:;小结;谢谢!

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