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二项式定理考题的分类与解析

二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系,二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一,考查题型主要是选择题和填空题,多为容易题.本文将对近几年高考中有关二项式定理的试题进行分类与解析,揭示其解题的一般规律,以飨读者.

求展开式中某一项的系数.

此类问题主要分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同.常规解法是利用通项公式,再求其系数.

例1

解:由28.

28.

例2在的展开式中,含的项的系数是()。

A、74B、121C、D、

解：由等比数列求和公式得：

原式=.

要求展开式中的项的系数,即求与的系数的差.而=,的项为=.

在的展开式中,含的项的系数是.

展开式中的某一项.

此类问题的常规解法是直接利用通项公式求解.

例3的展开式中常数项为_______.

解:设展开式中第项为常数项,则

=.

令,

.

例4的展开式中常数项为()

A、14B、C、D、

解:设展开式中第项为常数项,则

=.

令,

,故选(A).

求展开式中幂指数为整数的项数.

此类问题的常规解法是将展开式的通项整理,令其幂指数为整数,从而求出项数.

例5的展开式中,含的正整数幂的项数共有().

解:设展开式中第项的幂为正整数,则

==.

依题意,,.

即的展开式中,含的正整数幂的项数共有3个.

求展开式中某些项的系数和.

此类问题的常规解法是赋值法.

例6若,则

+=_________.(用数字作答)

解:令,

令+=1.

+=+.

求二项式中参数的值.

此类问题的常规解法是直接利用展开式的通项公式,根据题意建立方程,求出参数的值.

例7若在

解:展开式的通项.

令.

.

求两个二项式积的展开式中某一项的系数.

此类问题的常规解法是利用两因式展开式相应项系数配对的方法.

例8在()

A、B、C、D、

解:由题意知:只须求出.

分别为.

:.

故选(B).