5.1.1变化率问题+课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

第五章一元函数的导数及其应用为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数、刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关，一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程;二是求曲线的切线;三是求函数的最大值与最小值;四是求长度、面积、体积和重心等.历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想;导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本工具，因而在解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题中有着广泛应用.在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想,通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.

5.1.1变化率问题

问题1高台跳水运动员的速度探究在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系?如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

新知讲解直觉告诉我们，从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.把整个运动时间段分成许多小段，用每段时间内的平均速度近似地描述其运动状态.例如，在这段时间里，?一般地，在这段时间里，?1.平均速度hto

新知讲解思考计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.?2.瞬时速度.?为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneousvelocity).

探究：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？??2.瞬时速度.hto1+△t1+△t1△t△t

为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格

由?知，当无限趋近于0时，无限趋近于0，无限趋近于-5.这与前面观察的结论一致.把-5叫做“当无限趋近于0时，的极限”记为???瞬时速度

（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)－s(t)(2)作比值求平均速度（3）（瞬时速度）求极限求物体运动的瞬时速度：

合作探究思考（1）求运动员在t=2s时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？?

1.火箭发射ts后，其高度（单位：m)为h(t)=0.9t2.求：(1)在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.2.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=-4.9t2.求：t=1s时小球的瞬时速度.练习及作业

3.函数f(x)的平均变化率式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率设是相对于的一个增量，且值可正可负，但不能为零.平均变化率的几何意义，表示曲线y=f(x)上两点、连线的斜率（割线的斜率）平均变化率也可以用式子=表示?Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2，Δy==f(x1+Δx)-f(x1)P1P2割线P1P2的斜率

求函数平均变化率的步骤求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率：(1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0(2)求函数的增量Δy＝(3)求平均变化率＝

课堂练习例1.已知函数，求f(x)（1）从0.1到0.2的平均变化率；（2）