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高等应用数学问题的MATLAB求解

差分方程求解

成员：汪志成齐党松冯子华李良罗文向业川学院：理学院

专业：信息与计算科学

指导老师：刘唐伟

时间：2011年11月26日

在MATLAB中差分方程的迭代求解

数学类课程当中，我们所学习的变量基本上是属于连续变化的类型。在工程、经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，信号的输入与输出，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等。通常称这类变量为离散型变量。对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等。描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型.。求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律。由于计算机技术的蓬勃发展，使得差分方程的应用获得了非常广阔的发展前景。本文通过介绍差分方程在经济领域、动力系统和生态系统等多方面的应用，着重培养学生应用差分方程建立数学模型解决实际问题的能力。

一、差分的概念与性质

一般地，在连续变化的时间范围内，变量关于时间的变化率是用来刻画的；对离散型的变量，我们常取在规定的时间区间上的差商来刻画变量的变化率.如果选择，则

可以近似表示变量的变化率.由此我们给出差分的定义。

定义(1)设函数称改变量为函数的差分，也称为函数的一阶差分，记为，即

.

一阶差分的差分称为二阶差分，即

类似可定义三阶差分，四阶差分，……

一般地，函数的阶差分的差分称为阶差分，记为，即

二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。

（一）差分的性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

（二）差分方程的概念

定义(2)含有未知函数的差分的方程为差分方程.

差分方程的一般形式:

差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。差分方程的不同形式可以互相转化。

定义(3)满足差分方程的函数称为该差分方程的解。

如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解，

我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件，满足初始条件的解称为特解，

定义(4)若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程。

线性差分方程的一般形式是

其特点是都是一次的。

（三）一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

其中，P为非零常数，为已知函数.如果则方程变为

方程(2)称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程。

定理(1)设为方程(2)的通解，为方程(1)的一个特解，则为方程(1)的通解.

(1)；

(2)。

（四）二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程的一般形式:

其中均为常数，且是已知函数.当时，方程(3)变为

方程(4)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地,方程(3)称为二阶常系数线性非齐次差分方程。

定理(2)设为方程(4)的通解，为方程(3)的一个特解，则为方程(3)的通解。

二阶常系数线性齐次差分方程的通解，特征方程为

二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解。

仅考虑方程(3)中的取某些特殊形式的函数时的情形。

(其中是t的m次多项式)，方程(3)具有形如的特解，其中为t的m次待定多项式.

二、差分方程求解

常系数线性差分方程的一般形式为：

其中T为采样周期。和微分方程描述的连续系统类似，这里的系数和也是常数，所以这类系统称为线性时不变离散系统。另外，对应系统的输入信号和输出信号也可以由和表示。为第个采取周期的输入信号，为该时刻的输出信号。为方便起见，简记，且记为，则前面的差分方程可以简记为

线性时变差分方程的数值解法

线性时变差分状态方程一般可以写成

可见，采用递推的方法，则

最终可以直接得出

若已知，，则可以通过上面的递推算法直接求出离散状态方程的解。从数值求解的角度看，还可以用迭代方法求解笨方程，即从已知的根据方程式(6)推出，再由计算，…，这样就可以得出系统在各个时刻的状态。可见，迭代法更合适计算机实现。

（二）线性时不变系统的解法

线性时不变系统有，由式(7)可以立即得出

由于计算机数学语言并不能直接求出是变量形式时的解析表达式，所以用上述的表达式无法求出状态变量的解析解，必须考虑其他的方法。

再重新考虑(6)。两端同时求Z变换，则可以得出