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操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰
二维矢量组的行列式
行列式是矢量形成的平行四边形的面积
在一个二维平面上，两个矢量和的行列式是：
[27]
比如说，两个矢量和的行列式是：
经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是矢量和形成的平行
四边形的有向面积，并有如下性质：
行列式为零当且仅当两个矢量共线（线性相关），这时平行四边形
退化成一条直线[29]。
如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形
操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰
面积为正当且仅当以原点为不动点将逆时针“转到”处时，扫过的
地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如右图中，和所
构成的平行四边形的面积就是正的[31]。
行列式是一个双线性映射。也就是说，
，
并且
[29]。
行列式
其几何意义是：以同一个矢量v作为一条边的两个平行四边形的面积
之和，等于它们各自另一边的矢量u和u加起来后的矢量：u+u
和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。
[编辑]三维矢量组的行列式
在三维的有向空间中，三个三维矢量的行列式是：
。[28]
操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰
比如说，三个矢量(2,1,5)、(6,0,8)和(3,2,4)的行列式
是：
当系数是实数时，行列式表示、和三个矢量形成的平行六面体的
有向体积，也叫做这三个矢量的混合积。同样的，可以观察到如下性质
[32]：
行列式为零当且仅当三个矢量共线或者共面（三者线性相关），这
时平行六面体退化为平面图形，体积为零[30]。
两个相邻平行六面体的体积之和
三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右
手定则来约定。比如右图中（u,v,w）所形成的平行六面体的体
积是正的，而（u,w,v）所形成的平行六面体的体积是负的。这
个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中矢量的坐标都是在
取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规
则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积
的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积[30][33]。
这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个矢量有
，对
操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰
第二、第三个矢量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指
当生成两个平行六面体的每组三个矢量中如果有两个是重合的，比
如分别是：(u,v,w)和（u,v,w），那么它们的体积之总和等
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