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专题28.4 锐角三角函数(章节复习+能力强化卷)学生版.pdf

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2023-2024学年人教版数学九年级下册章节知识讲练

专题28.4锐角三角函数(章节复习+能力强化卷)

知识点1:锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐角A确定:

(1)sinA=,这个比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=,这个比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=,这个比叫做∠A的正切.

细节剖析:

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的,其本质是,它只是一个,

其大小只与有关,而与所在无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号,即表示∠A三个,书写时习惯上省略符号,

但不能写成sin·A,对于用三个大写字母表示一个角时,其三角函数中符号“∠”不能省略,应写

成sin∠BAC,而不能写出sinBAC.

222

(3)sinA表示(sinA),而不能写成sinA.

(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的都叫做∠A的锐角三角函数.

细节剖析:

1.函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是∠A的函数.同样,

cosA、tanA也是∠A的函数,其中∠A是自变量,sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的

取值范围是0°<∠A<90°,函数值的取值范围是0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.

2.锐角三角函数之间的关系:

余角三角函数关系:“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,

那么:sinA=;cosA=

22

同角三角函数关系:sinA+cosA=1;tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函数值

∠A30°45°60°

sinA

cosA

tanA1

30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重,

是几何计算题的基本工具,三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

知识点2:解直角三角形

在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如图:

角角关系:两锐角互余,即∠A+∠B=90°;

边边关系:勾股定理,即;

边角关系:锐角三角函数,即

细节剖析:

解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形:

(1)已知两条边(;两直角边);

(2)已知一条边和一个锐角().这两种情形的共同之处:有一条边.因

此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边.

知识点3:解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量

关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

1.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.

2.常见应用问题

(1)

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