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专题17正方形与45度角基本图
【例题讲解】
1ABCDEABF
如图,在正方形中,是上一点,是AD延长线上一点,且DF=BE.
1CE=CF
()求证:;
21GÐGCE=45°GE=BE+GD
()在图中,在AD上,且,则成立吗?为什么?
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
①2ABCDAD//BCBCADÐB=90°AB=BC=12EAB
如图,在直角梯形中,,,,是上一
点,且ÐDCE=45°,BE=4,求DE的长.
②3VABCÐBAC=45°AD^BCBD=2CD=3VABC____
如图,在中,,,,,则的面积为(直
接写出结果,不需要写出计算过程)
解:(1)证明:在正方形ABCD中CB=CD,∠B=∠CDA=90°,
CB=CD
ì
ï
íÐB=ÐCDF
ï
BE=DF
∴∠CDF=∠B=90°.在△BCE和△DCF中,î,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
∴CE=CF.
(2)解:GE=BE+GD成立.理由如下:∵∠BCD=90°,∠GCE=45°,
∴∠BCE+∠GCD=45°.∵△BCE≌△DCF(已证),
∴∠BCE=∠DCF.∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°.
CE=CF
ì
ï
íÐECG=ÐFCG
ï
CG=CG
∴∠ECG=∠FCG=45°.在△ECG和△FCG中,î,
∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=FG.∵FG=GD+DF,∴GE=BE+GD.
(3)①如图2,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,
由(2)和题设知:DE=DG+BE,
设DG=x,则AD=12-x,DE=x+4,
在Rt△ADE中,由勾股定理,得:
222222
AD+AE=DE∴(12-4)+(12-x)=(x+4)
解得x=6.∴DE=6+4=10;
②将△ABD沿着AB边折叠,使D与E重合,△ACD沿着AC边折叠,使D与G重合,
可得∠BAD=∠EAB,∠DAC=∠GAC,∴∠EAG=∠E=∠G=90°,AE=AG=AD,
BD=EB=2,DC=CG=3,∴四边形AEFG为正方形
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