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非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

第一讲因式分解4：综合及应用

本讲纲要

§1.1因式分解的基本方法§1.3对称式的因式分解

1.提取公因式1.对称式

2.主元法2.轮换

3.分组分解3.交代式

4.公式§1.4因式分解的应用

5.换元

1.计算

6.配方

2.化简

7.十字、待定系数法

3.求值

8.倒数代数式

§1.2因式分解的特殊方法4.整除

5.不定方程

1.添项、拆项6.完全平方数

2.因式定理

§1.1因式分解的基本方法

一、考试要点剖析

因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，

比如，比较大小、判断函数的单调性、证明不等式、解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“中

考”和数学竞赛着重考查的热点问题．

**基本知识

因式分解把一个多项式分解成几个非常数的多项式或单项式的积的形式叫做多项式的因式分

解．多项式的因式分解是在给定的数域上进行的，即要求各因式的系数是给定数域上的数．因此，一个多

项式在某个数域上可能不能分解因式，而在另外的(更广的)数域上也许是可以分解的．一般地，如果没有

特别指定数域，则因式分解通常都是在有理数域上进行的．

既约多项式如果一个多项式在某数域上不能再分解，则称它是此数域上的既约多项式．

因式分解的常用公式：

**基本方法

初中教材中介绍了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分组分解法、十字相乘法、求根法，这

些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和灵活地运用．此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一

些方法：

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

(1)换元法将待分解的多项式中某些特殊的部分看作一个整体，用一个新的字母表示，使原来复杂的

结构简化．

(2)双十字相乘法对于二元二次多项式的分解，可先用“十字相乘法”将二次项进行分解，然后将局

部分解的因式看作一个整体(字母)，连同后面的一次项和常数项再采用十字相乘法进行分解．

(3)待定系数法将待分解的多项式表示成若干个含有待定系数的多项式的积的形式，得到一个恒等

式．然后根据多项式恒等的性质，比较对应项的系数，或令变元取一些特殊值，得到关于待定系数的方程

组，解方程组求出待定系数，进而得到多项式的分解．这种方法叫做待定系数法．

(4)主元法对于多元多项式的分解，我们可选择其中一个字母当作变量，而将其他字母看成常数，其

中当做变量的字母称为“主元”．这样，多项式就变成了关于“主元”的一元多项式，这种选择主元进行

多项式分解的方法叫做主元法．

**基本问题

一元二次多项式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等；

一元高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等；

二元二次多项式的因式分解，常用的方法有：主元法、分组分解法、双十字相乘法、待定系数法等．

多元(通常是二元、三元)高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、