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非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮
中考数学复习二次函数中三角形存在性问题压轴题练习
（含答案解析）
一．相似三角形的存在性
2
1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y
轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x
轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的
坐标．
2
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图：
22
∵y＝x﹣x﹣4＝（x﹣1）﹣，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，
在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，
∴∠MPN＝90°，PM＝PN，
设P（m，m2﹣m﹣4），
1
非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮
∴m|﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，
22
∴m﹣1＝m﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m+m+4，
解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，
∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，
∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．
2
2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交
y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出
点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，
DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，
使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，
若不存在，请说明理由．
2
非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮
【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴设抛物线的解析
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