专题17.2 勾股定理的应用【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）.pdfVIP

专题17.2勾股定理的应用【八大题型】

【人教版】

【题型1勾股定理之大树折断模型】1

【题型2勾股定理之风吹荷花模型】3

【题型3勾股定理之蚂蚁行程模型】5

【题型4勾股定理之方向角问题】8

【题型5勾股定理之梯子问题】12

【题型6勾股定理之范围影响问题】14

【题型7勾股定理之选址使到两地距离相等】18

【题型8勾股定理应用之其他问题】21

【题型1勾股定理之大树折断模型】

【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高

50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸

在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上24米处折断．

【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理

列出方程进行求解．

【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10

222

故10+x＝（50﹣x）

解得x＝24（米）

故烟囱应从底部向上24米处折断．

故答案为24．

【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B

处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）

A．10米B．12米C．14米D．16米

【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的

和即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，

∴BC=2+2=62+82=10（m），

∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．

故选：D．

【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将

它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很

直，求绳索AD的长度．

22

【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x＝4+（x﹣1）

2

．

【解答】解：在Rt△ACB中，

222

AC+BC＝AB，

设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，

222

故x＝4+（x﹣1），

解得：x＝8.5，

答：绳索AD的长度是8.5m．

【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树

顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵

树原来的高度．

【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．

【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，

由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，

故BD=132−122=5（m），

即AD＝9m，

则AC=2+2=92+122=15（m），

故AC+AB＝15+4＝19（m）．

答：这棵树原来的高度是19米．

【题型2勾股定理之风吹荷花模型】

【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长