专题29 一次函数与角度综合应用（解析版）.pdf

专题29一次函数与角度综合应用

解答方法

题型一：若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余

角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转

化为可用的角度关系。

题型二：遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，

一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点

为AB’

典例分析

【考点1角度相等综合应用】

【典例1】如图，直线l：y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l：

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y＝kx+b与x轴交于点C（1.5，0），与y轴交于点D（0，3），直线l，l交

12

于点E．

（1）求直线l2的函数表达式．

（2）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣2x+3；

（2）（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．

【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+b与x轴交于点C（1.5，0），与y轴交于

2

点D（0，3），

∴，

∴，

∴直线l2的函数表达式为y＝﹣2x+3；

（2）∵∠POB＝∠BDE，

∴点P在l1上有两个位置，

当点P在点B的上方时，如图，

∴OP∥DE，

∴直线OP的函数解析式为y＝﹣2x，

∴﹣2x＝x﹣3，

∴x＝1，

当x＝1时，y＝﹣2，

∴P（1，﹣2）；

当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接OQ交l1于点

P，

∴Q（﹣1，﹣2），

∴直线OQ的解析式为y＝2x，

∴直线OQ与l1的交点P（﹣3，﹣6），

∴点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．

【变式1-1】（2021秋•龙华区期中）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点

A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．

（1）求直线BC的函数解析式；

（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点

P，交直线BC于点Q．点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠

BAC，直接写出P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x+3（2）P的坐标为（﹣，）或（，）．

【解答】解：（1）对于y＝x+3，

由x＝0得：y＝3，

∴B（0，3）．

由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，

∴A（﹣6，0），

∵点C与点A关于y轴对称．

∴C（6，0）

设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，

∴，解得，

∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图2，当点M在y轴的左侧时，

∵点C与点A关于y轴对称，

∴AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠BMP＝∠BAC，

∴∠BMP＝∠BCA，

∵∠BMP+∠BMC＝90°，

∴∠BMC+∠BCA＝90°

∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，

222

∴BM+BC＝MC，

设M（x，0），则P（x，x+3），

22222222222

∴BM＝OM+OB＝x+9，MC＝（6