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[70分]解答题标准练(一)

1．糖画是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点．某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x(元)与销量y(个)相关数据如下表：

单价x(元)

8.5

9

9.5

10

10.5

销量y(个)

12

11

9

7

6

(1)已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)若该每个新造型糖画的成本为7.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？(结果保留到整数)

参考公式：线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：

eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).

参考数据：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝419.5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝453.75.

解(1)由表中数据，计算eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(8.5＋9＋9.5＋10＋10.5)＝9.5，

eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋11＋9＋7＋6)＝9，

则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(419.5－5×9.5×9,453.75－5×9.52)＝－3.2，

eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝9－(－3.2)×9.5＝39.4，

所以y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋39.4.

(2)设定价为x元，则利润z关于x的关系为

z＝(－3.2x＋39.4)(x－7.7)，其中x≥7.7，

则z＝－3.2x2＋64.04x－303.38，

所以x＝－eq\f(64.04,2×?－3.2?)≈10(元)，

为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为10元．

2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S8＝30＋15eq\r(2)，且a10是8a2和6a6的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝aeq\o\al(2,n)＋log2an，求数列{bn}的前n项和．

解(1)设正项等比数列{an}的公比为q，q＞0，

a10是8a2和6a6的等差中项，

可得2a10＝8a2＋6a6，

即2a1q9＝8a1q＋6a1q5，

所以q8－3q4－4＝0，

解得q＝eq\r(2)(舍负)，

又S8＝30＋15eq\r(2)，

可得eq\f(a1?1－16?,1－\r(2))＝30＋15eq\r(2)，

解得a1＝eq\r(2)，

可得an＝(eq\r(2))n，n∈N*.

(2)bn＝aeq\o\al(2,n)＋log2an＝2n＋eq\f(1,2)n，

数列{bn}的前n项和为

(2＋4＋…＋2n)＋eq\f(1,2)(1＋2＋…＋n)

＝eq\f(2?1－2n?,1－2)＋eq\f(1,2)·eq\f(1,2)n(n＋1)

＝2n＋1－2＋eq\f(1,4)(n2＋n)．

3．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是棱AB的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)若E是棱BB1的中点，求三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－ABC的体积之比．

(1)证明连接AC1交A1C于点O，连接OD，

∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，

∴四边形AA1C1C是平行四边形，

∴O是AC1的中点，又D是AB的中点，

∴OD∥BC1，

又OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD.

(2)解设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，

则三棱柱A1B1C1－ABC的体积V＝S△ABC·h，

又V＝，

＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(V,3)，

∵CC1∥BB1，CC1?平面ABB1A1，

BB1?平面ABB1A1，

∴CC1∥平面ABB1A1，

＝eq\f(1,2)×eq\f(2V,3)＝eq\f(V,3)，

∴三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－A