【学案】《4.2.4_积化和差与和差化积公式》 (1).docVIP

高中数学精选资源

PAGE2/NUMPAGES2

LLL2.4积化和差与和差化积公式

课程内容标准

学科素养凝练

能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差及和差化积公式，并能运用公式进行简单的恒等变换.

在推导及运用和差化积及积化和差公式的基础上，提升逻辑推理及数学运算素养.

1．积化和差公式

(1)sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．

(2)cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

(3)cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．

(4)sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]．

积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘常数的形式，常用于三角函数的求值和化简．

2．和差化积公式

(1)sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)；

(2)sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)；

(3)cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)；

(4)cosx－cosy＝－2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)．

这四个公式叫作和差化积公式，利用它们和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)sinαsinβ＝eq\f(1,2)[cos(α－β)－cos(α＋β)](√)

(2)cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α－β)＋cos(α＋β)](√)

(3)sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α－β)＋sin(α＋β)](√)

(4)cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α－β)－sin(α＋β)]()

×提示cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

2．(教材P152练习2改编)sineq\f(π,12)coseq\f(5π,12)的值是()

A．1－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,4)(2＋eq\r(3))

C．eq\f(1,4)(2－eq\r(3)) D．eq\f(1,4)(eq\r(2)－1)

C[sineq\f(π,12)coseq\f(5π,12)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(5π,12)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(5π,12)))))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))＝eq\f(2－\r(3),4).]

3．sin105°＋sin15°＝________．

eq\f(\r(6),2)[sin105°＋sin15°＝2sineq\f(105°＋15°,2)coseq\f(105°－15°,2)＝2sin60°cos45°＝2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),2).]

探究一用积化和差与和差化积公式化简求值

[知能解读]对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止．“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的．试图利用已知等式及平方关系分别求取cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，导致运算繁琐，难以求解．

求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°．

解题流程：

第一步泛读题目明确待求结论：已知非特殊角的三角函数求值．

第二步精读题目挖掘已知条件：已知sin20°cos70°＋sin10°sin50°．

第三步建立联系寻找解题思路：利用积化和差公式，建立角之间的关系．

第四步书写过程规范养成习惯．

解sin20°cos70°＋sin10°sin50°

＝eq\f(1,2)(sin90°－sin50°)－eq\f(1,2)(cos60°－cos40°)

＝eq\f(1,4)－eq\f(