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《周期变化》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

利用多媒体播放钱塘江潮图片（如图）与视频.

教师操作多媒体，让学生看看潮水，听听潮声，感受一下钱塘江潮的宏伟气势.适时引导学生注意波浪是怎样变化的.

师生讨论总结得出：波浪每隔一段时间会重复出现，我们把这种变化称为一种周期变化.

通过生活中的实例，使学生直观感知周期变化的存在.

概念形成

1.函数的含义是什么？画出它的图象.

2.分别画出函数，的图象.

3.多媒体展示两个图象，观察图象的变化规律，思考怎样描述这种规律？

学生思考其含义，教师安排一名学生上黑板画图，其他学生在练习本上完成.

教师安排两名学生到黑板上画图象，其余学生在练习本上完成，教师巡视指导学生作图.

学生完成作图后教师提出问题：这两个函数图象反映了相应函数的哪些规律？有哪些性质？学生交流讨论，发表自己的想法.

教师引导学生发现规律.学生观察图象，分析这两个函数的函数值具有“周而复始”的变化规律如：函数的图象说明：图象重复出现，且对任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变函数的图象说明：图象重复出现，且对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变.

为学生下一步画函数图象提供知识基础.

锻炼学生的动手作图能力，为下一步问题的提出做好准备，让学生从形”的角度认识函数的性质.

通过对图象特点的描述，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，培养学生的直观想象核心素养.

概念形成

4.周期函数的定义.

一般地，对于函数，，如果存在一个非零常数T，使得对任意的，都有且满足，那么函数称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.

周期函数的周期不止一个例如，对于函数来说，任何一个非零整数都是它的周期.

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.

教师引导学生分组探讨，如何描述这种性质？

学生观察函数图象，并发表自己的见解：函数不同，但图象特征都是重复出现，且重复出现的间距不一定相同，这种变化规律反映了函数的个重要性质，即函数的周期性.

师生共同得出周期函数的定义，并通过前面所展示的两个图象得出周期函数的部分性质.

从形象到抽象，培养学生的数学抽象核心素养.

概念深化

如图所示.

（1）对周期函数与周期定义中的“对任意的”，要特别注意“任意”的要求如果只是对某些x有，那么T就不是的周期.如函数满足，但函数不是周期函数.

（2）周期函数的周期不唯一.例如都是函数的周期，这一点可以从图象上得到反映，也可以从代数上证明.设T是函数的周期，那么对于任意的，，也是函数的周期.

（3）周期函数不一定存在最小正周期例如，对于常数函数（c为常数，），所有非零实数T都是它的周期，而最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.

组织学生从图象上认识问题.

关注学生用数学语言表述周期函数时，对“任意”的理解.

观察图象的变化规律即可得出.

教师提问：所有的周期函数都有最小正周期吗？试举例说明.引导学生思考根据学生现有的知识水平，可能举不出例子.

教师提示：思考常数函数.

在定义的基础上，结合图象，让学生加深对本节课内容的理解.

结合图象和定义，使学生进一步深入了解周期函数的周期具有的特征.

应用举例

例1讨论函数，

是否为周期函数，如果是，请指出它的周期.

解当时，该函数的取值为8,6,8,6,8…

可见它是周期函数，且周期.

例2周期函数的图象如图.

（1）求函数的周期；

（2）写出函数的解析式.

解（1）由图可知，.

（2）当时，

，

当时，.

当（n为整数）时，；

当（n为整数）时，.

（n为整数）.

教师提问：你能利用周期函数的定义进行判断吗？还有其他方法判断吗？引导学生通过列举法，得出函数值，观察函数值的变化规律，得出结论.

定义法证明：对任意的时，，

又

.

安排一名学生到黑板上进行解答，其他学生在练习本上完成，教师巡视，收集信息及时评价.

教师点拨学生：先求时函数的解析式，再将其他区间用表示，并求时函数的解析式，注意将x变形转化到区间.

安排一名学生到黑板上进行解答，其他学生在练习本上完成，教师巡视，收集信息及时评价，最后讲解，规范解题步骤.

师生共同总结判断函数周期性的方法：

（1）图象法；（2）定义法.

开拓学生判断周期函数的思路，锻炼学生的发散思维，培养学生利用定义证明周期性的严谨性.

进一步加深对周期函数的认识，解决由周期函数的图象求函数解析式问题，培养学生的观察能