专题4二次函数与相似问题（解析版）.pdf

专题4二次函数与相似全等问题

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为

特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导

边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后

利用相似来列方程求解。

相似三角形常见的判定方法：

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应

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用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方

程，解方程并检验．

如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成

ABDEABDF

比例，分和两种情况列方程．

ACDFACDE

应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是

确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

2

【例1】（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax交于A，B两点，与y轴于点C，其

中点A的坐标为（﹣4，8）．

（1）求a，b的值；

（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．

①试说明点D在抛物线上；

②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若

△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．

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【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可．

（2）如图1中，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出

①

点D的坐标，可得结论．

2

②设E（t，t），求出直线EG，FG的解析式，构建方程组求出点G的坐标，再根据点G的横坐标为

O，构建方程组求出t，即可解决问题．

【解析】（1）由题意，得，

解得．

（2）如图1中，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．

①

由（1）可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，

∴C（0，6），

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∵∠AMC＝∠DNC＝∠ACD＝90°，

∴∠ACM+∠DCN＝90°，∠DCN+∠CDN＝90°，

∴∠ACM＝∠CDN，

∵CA＝CD，

∴△AMC≌△CND（SAS），

∴AN＝AM＝4，DN＝CM＝2，

∴D（﹣2，2），

2

当x＝﹣2时，y＝×2＝2，

2

∴点D在抛物线y＝x上．

②由