专题11二次函数与角综合问题（解析版）.pdf

专题11二次函数与角综合问题

二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：

1.特殊角问题：

（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系

（2）遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边

三角形，遇到90°构造直角三角形

2.角的数量关系问题

（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决

（2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答

（3）角的和差问题

3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答

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【例1】（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P

为x轴上一动点．

（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；

（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；

（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．

①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；

②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；

（2）先求直线AB的解析式为y＝x﹣2，则Q（1，﹣），C（1，﹣2），可求S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ

＝；

（3）①设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣t），

将D点代入抛物线解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求德D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；

②分两种情况讨论：当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，则P（2，0）；

当PE不平行y轴时，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，可证明△BPO

≌△GBF（AAS），则E点与G点重合，求得P（﹣，0）．

【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），

∴a＝，

2

∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x﹣x﹣2；

（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，

∴x＝﹣3或x＝4，

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∴A（4，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝x﹣2，

∵OP＝1，

∴P（1，0），

∵PQ⊥x轴，

∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），

∴AP＝3，

∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；

（3）设P（t，0），

①

如图2，过点D作x轴垂线交于点N，

∵∠BPD＝90°，

∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，

∴∠NPD＝∠OBP，

∵BP＝PD，

∴△PND≌△BOP（AAS），

∴OP＝ND，BO＝PN，

∴D（t+2，﹣t），

∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），

解得t＝1或t＝﹣10，

∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；

②如图3，∵PE平分∠BPD，

∴∠BPE＝∠EPD，

∵∠BPD＝90°，

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∴∠BPE＝45°，

当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，

∴P（2，0）；

如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，

∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，

∴∠PBF＝∠FGB，

∵∠B