专题18以函数为载体的新定义与创新型综合探究问题（解析版）.pdf

专题18以函数为载体的新定义与创新型综合探究问题

【例1】．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的

“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．

2

（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐

标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为

C．当△ABC的面积为3时，求b的值；

2

（3）若函数y＝x﹣2（x≥m）的图象记为W，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W．当W，W两

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部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；

（2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（，），同理

求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可；

2

（3）先求出函数y＝x﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类

讨论即可．

【解析】（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，

∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；

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在y＝x﹣x中，令x﹣x＝x，

解得：x＝0，x＝2，

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2

∴函数y＝x﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；

（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，

解得：x＝，

∴A（，），

在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，

解得：x＝b，

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∴B（b，b），

∵BC⊥x轴，

∴C（b，0），

∴BC＝|b|，

∵△ABC的面积为3，

∴×|b|×|﹣b|＝3，

2

当b＜0时，b﹣2﹣24＝0，

解得b＝﹣2，

2

当0≤b＜2时，b﹣2+24＝0，

2

∵Δ＝（﹣2）﹣4×1×24＝﹣84＜0，

2

∴方程b﹣2+24＝0没有实数根，

2

当b≥2时，b﹣2﹣24＝0，

解得：b＝4，

综上所述，b的值为﹣2或4；

2

（3）令x＝x﹣2，

解得：x＝﹣1，x＝2，

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2

∴函数y＝x﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），

①当m＜﹣1时，W，W两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），

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2

W：y＝x﹣2（x≥m），

1

2

W：y＝（x﹣2m）﹣2（x＜m），

2

2

令x＝（x﹣2m）﹣2，

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整理得：x﹣（4m+1）x+4m﹣2＝0，

∵W的