专题30代数中的新定义问题（解析版）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题30代数中的新定义问题

【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它

的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．

例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．

又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．

（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；

（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b

＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数

+

记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．

16

【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；

（2）设A=（a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），

++

代入中，根据为整数可解答．

1616

【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，

∴357不是“和倍数”；

∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，

∴441是9的“和倍数”；

（2）设A=（a+b+c＝12，a＞b＞c），

==

由题意得：F（A），G（A），

++10+1010(+2

∴===，

16161616

+

∵a+c＝12﹣b，为整数，

16

+10(12−)+2120−8112+8−81

====+

∴7（1﹣b），

161616162

∵1＜b＜9，

∴b＝3，5，7，

∴a+c＝9，7，5，

=8=7

①当b＝3，a+c＝9时，=3（舍），=3，

=1=2

则A＝732或372；

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=6

②当b＝5，a+c＝7时，=5，

=1

则A＝156或516；

③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；

综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．

【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t，

1

t，…t），其中，t，t，…，t都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整

2n12n

数）．

例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完

美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义