1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时（教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptx

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时新授课

1.掌握空间向量正交分解的概念及坐标表示.2.能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算.3.掌握空间向量平行、垂直的坐标表示.

知识点一：单位正交分解及空间中向量的坐标?OAijxy

??(2)将向量p的始点平移到点O，然后过它的终点分别作与e1，e2，e3所在直线垂直的平面，即可写出它在基底{e1，e2，e3}下的分解式.

概念生成一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3)中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作其中x，y，z都称为p的坐标分量.p(x，y，z)e1e2e3p=(x，y，z)

思考2：a=xe1+ye2+ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是.

例1已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：(1)p=2e1+3e2+e3;(2)q=-e1+e2-2e3;(3)r=-2e2-e3;(4)0.解：(1)p=(2，3，1)(2)q=(-1，1，-2)(3)r=(0，-2，-1)(4)因为0=0e1+0e2+0e3，所以0=(0，0，0).

已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是()A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3)B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2)C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1)D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3)练一练C

知识点二：空间向量的运算与坐标的关系思考3：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设设ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2)a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)λa=(λx1，λy1，λz1)ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2).a·b=(x1x2+y1y2+z1z2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)

假设空间中两个向量a，b满足a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，即：a=x1e1+y1e2+z1e3，b=x2e1+y2e2+z2e3，则当a=b时，有x1e1+y1e2+z1e3=x2e1+y2e2+z2e3，由{e1，e2，e3}是单位正交基底和空间向量基本定理可知x1=x2，y1=y2，z1=z2反之结论也成立.即：空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等.

证明：a+b=x1e1+y1e2+z1e3+x2e1+y2e2+z2e3=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2+(z1+z2)e3求证：a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)所以a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2).ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2).同理可得，如果u，v是两个实数，那么问题2：试推导a-b与λa的坐标运算法则.λa=(λx1，λy1，λz1)a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2).

因为{e1，e2，e3}是单位正交基底，所以e1·e1=e2·e2=e3·e3=1，e1·e2=e2·e3=e3·e1=0a·b=(x1e1+y1e2+z1e3)·(x2e1+y2e2+z2e3)=x1x2e1·e1+y1y2e2·e2+z1z2e3·e3+(x1y2+x2y1)e1·e2+(y1z2+y2z1)e2·e3+(x1z2+x2z1)e3·e1=x1x2+y1y2+z1z2因此即a·b=x1x2+y1y2+z1z2.求证：a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

特别地，当a≠0且b≠0时，由向量数量积的定义可知

例2已知a=(-2，3，5)，b=(3，-3，2)，求下列向量的坐标：(1)a-b;(2)2a+b;(3)-5b.解：(1)a-b=