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以铜为镜,可以正衣冠;以古为镜,可以知兴替;以人为镜,可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
数学的三大核心领域
数学的三大核心领域——代数学、几何学、分析学
数学发展到现在,已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学
科的庞大的“共和国”。大体说来,数学中研究数的部分属于代数学
的范畴;研究形的部分,属于几何学的范筹;沟通形与数且涉及极限
运算的部分,属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本
体与核心。在这一核心的周围,由于数学通过数与形这两个概念,与
其它科学互相渗透,而出现了许多边缘学科和交叉学科。本章简要介
绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。
一、代数学范畴
1、算术
算术有两种含义,一种是从中国传下来的,相当于一般所说的
“数学”,如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的,源
自希腊语,有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”,往往指
自然数的四则运算;如果是在高等数学中,则有“数论”的含义。作
为现代小学课程内容的算术,主要讲的是自然数、正分数以及它们的
四则运算,并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩
固。
算术是数学中最古老的一个分支,它的一些结论是在长达数千年
的时间里,缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累
起来,并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中,产生的抽象
概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象,还要计算各种量,
例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要,就要用到分
以铜为镜,可以正衣冠;以古为镜,可以知兴替;以人为镜,可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
数。
现代初等算术运算方法的发展,起源于印度,时间可能在10世纪
或11世纪。它后来被阿拉伯人采用,之后传到西欧。15世纪,它被
改造成现在的形式。在印度算术的后面,明显地存在着我国古代的影
响。
19世纪中叶,格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系,
来定义加法与乘法运算;而算术的其它命题,可以作为逻辑的结果,
从这一体系中被推导出来。后来,皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体
系。
算术的基本概念和逻辑推论法则,以人类的实践活动为基础,深
刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的,但由于它概括
的原始材料是如此广泛,因此我们几乎离不开它。同时,它又构成了
数学其它分支的最坚实的基础。
2、初等代数
作为中学数学课程主要内容的初等代数,其中心内容是方程理论。
代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由
一元一次方程向两个方面扩展的:其一是增加未知数的个数,考察由
有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方
程组);其二是增高未知量的次数,考察一元二次方程或准二次方程。
初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
古巴比伦(公元前19世纪~前17世纪)解决了一次和二次方程问
题,欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程
的方法。我国的《九章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方
以铜为镜,可以正衣冠;以古为镜,可以知兴替;以人为镜,可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
程组的解法,并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不
定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是
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