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吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》
数学建模习题
题目1
1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银
牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他
成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还
有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但
是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：
（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，
其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s
均无关的成本。又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示
为（α，β，γ为大于0的常数）。
（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。说明大
包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装
的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：
题目2
2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，
设,β为增长率。又设单位时间的销售量为(p为价格)。今
将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求
,的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为,
吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》
再求,的最优值。
解答：
由题意得：总利润为
,=+
=
由=0，，可得最优价格
,
设总销量为，
在此约束条件下的最大值点为
,
题目3
3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c(与数量无关)，随
0
机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。问如何
确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利
润为正值，需要对订购费c加什么限制？
0
解答：
设订购量为u，则平均利润为
吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》
u的最优值满足
最大利润为.为使这个
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