初中数学模型--经典几何模型之“阿氏圆”.docx

一.模型名称由来

经典几何模型之“阿氏圆”

————段廉洁

【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满

足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

二.模型建立

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3

三.“阿氏圆”模型破解策略

【破解策略详细步骤解析】

第一步：连接动点于圆心O（一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连），即连接OB、OP；

第二步：计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况，如例

子中的OP?k

OB

第三步：在OB上取点C，使得OC?OP；（核心关键步骤）

OP OB

第四步：连接AC，与⊙O的交点即为点P

【核心步骤另单独解析】

回顾图2，在OB上取点C构建OC?OP的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母

OP OB

子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。

将图2中△BPO单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO∽△BPO，就是“母子型相似

模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO与△BPO有公共角∠O，且OC?OP（在

OP OB

某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O、∠B=∠OPC）

（构造出△PCO∽△BPO后可以得到OC?OP，进而推出OP2?OB?OC，即“半径的平

OP OB

方=原有线段×构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC长度“阿氏圆”即可破解）四.“阿氏圆”典型例题讲解

例1：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动

点，连接AP、BP，求AP+1BP的最小值.

2

解答：如图2，连接CP，因为CP=2，AC=6，BC=4，简单推算得CP?1，CP?1，而题

AC 3 CB 2

目中是求“AP+1BP”其中的“k=1”，故舍弃在AC上取点，应用“CP?1”，所以在

2 2 CB 2

CB上取一点D，使CD=1，则有CD?CP?PD?1，无论P如何移动，，△PCD与△BCP

CP CB BP 2

始终相似，故PD=1BP始终成立，所以AP+1BP=AP+PD，其中A、D为定点，故A、P、

2 2

D三点共线时最小，AP+1BP=AP+PD=AD=

2

=37（思考：若求BP?1PA呢？）

3

（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）例2：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.

?解答：首先连接OP，因为OP=6，OA=3，OB=5，所以AO?1 BC 5，题目求的是“2PA+PB”，

?

、

OP 2 OP 6

其中的“k=2”与之相关的是AO?1，故在OA上取点，考虑到是2PA，故在OC上取点H，

OP 2

使OH=12，则有OA?OP?AP?1，无论P如何移动，△PAO与△HPO始终相似，故

OP OH PH 2

P