5.3诱导公式学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

5.3诱导公式

【节引言】前面利用圆的几何性质,得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道,圆的最重要的性质是对称性,而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到,可以利用圆的对称性,研究三角函数的对称性.

【探究1】

如图5.3-1,在直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1

(1)作P1关于原点的对称点P2,以OP2为终边的角β与角

(2)如果作P1关于x轴(或y轴)的对称点P3(或

下面,借助单位圆的对称性进行探究.

如图5.3-2,以OP2为终边的角β都是与角π+α终边相同的角,即β=2

设P1x1,y

x

根据三角函数的定义,得

sin?

从而得

图5.3-1

图5.3-2

sin?(

如图5.3-3,作P1关于x轴的对称点P3,则以OP

公式三

sin?(?

如图5.3-4,作P1关于y轴的对称点P4,则以OP

公式四

sin?(

例1利用公式求下列三角函数值:

(1)cos?225

(2)sin?8

(3)sin??

(4)tan??

解:(1)cos?

=?cos?

(2)sin?

=sin?

(3)sin?

=?sin?

图5.3-3

图5.3-4

明公式三和公式四.

=?

(4)tan?

=?tan?

【思考】

由例1,你对公式一＼cjkstart公式四的作用有什么进一步的认识?你能自已归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?

利用公式一～公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面步骤进行:

数学史上,求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题.数学家制作了锐角三角函数表,并通过公式一～公式四,按上述步骤解决了问题.现在,我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值,所以这些公式的“求值”作用已经不重要了,但它们所体现的三角函数的对称性,在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用.

例2化简

cos?

解:tan?

=?tan?

=?tan?

所以

原式

1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:

(1)cos?

(2)sin?(1+

(3)sin?

(4)tan?

(5)cos?

(6)tan?

2.利用公式求下列三角函数值:

(1)cos??

(2)sin??

(3)tan??

(4)cos??

(5)tan?315

(6)sin??

3.化简:

(1)sin??

(2)cos3

4.填表:

α

?

?

?

?

?

?

sin?

cos?

tan?

下面在探究1的基础上继续探究.

【探究2】

作P1关于直线y=x的对称点P5,以OP5为终边的角γ与角

如图5.3-5,以OP5为终边的角γ都是与角π2?α终边相同的角,即γ

设P5x5,y5,由于

图5.3-5

x

根据三角函数的定义,得

sin?

你能利用平面几何的知识,就图5.3-5所示的情况证明(1)式吗?其他情况呢?

从而得

公式五

sin?

【探究3】

作P5关于y

类似地,可得

公式六

sin?

角π2+α

利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.

公式一～公式六都叫做诱导公式(inductionformula).

例3证明:

(1)sin?3

(2)cos?3

证明：(1)sin?

=?sin?

(2)cos?

=?cos?

例4仳简

sin?(2

解：原式

=

例5已知sin?53°?α=

分析：注意到53°?α+37

解：设β=53°?α

sin?

因为

?

所以

143

由sin?β=1

所以

cos?

所以

sin?

【练习】

1.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(3)(4)(6)题精确到0.0001):

(1)cos?65

(2)sin??

(3)cos??

(4)sin?670

(5)tan??

(6)tan?580

2.证明:

(1)cos?5

(2)cos?7

(3)sin?9

(4)sin?11

3.化简:

(1)cos?α

(2)cos2

(3)cos?(α

习题5.3

【复习巩固】

1.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(2)(3)(4)(5)题精确到0.0001):

(1)cos??

(2)sin??

(3)sin??

(4)cos??

(5)cos?1615

(6)sin??

2.求证:

(1)sin?360

(2)cos?360

(3)tan?360

3.化简:

(1)1+sin?(α

(2)sin??

4.在单位圆中,已知角α的终边与单位圆的交点为P?35

【综合运用】

5.已知sin?7π2

(A)?

(B)?

(C)3

(D)4

6.已知sin?(π

(1)sin?(5π

(2)sin?

(3)cos?α

(4)tan?π

7.在△ABC

(1)cos?(A

(2)sin?(A

(3)sin?A

(4)cos