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空间向量与向量运算法则

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目录

空间向量的基本概念

向量的数量积与向量积

向量的线性运算

向量的向量的模长和向量的方向

向量的线性组合与向量的线性表示

向量的空间位置关系及向量的应用

01

空间向量的基本概念

向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。

在空间中，一个向量由其起点和终点确定，并且具有大小和方向两个属性。向量的大小表示其长度或幅度，方向表示其指向。

详细描述

总结词

总结词

向量的模是表示向量大小的量，即向量的长度。

详细描述

向量的模可以通过勾股定理计算，即向量的大小等于起点到终点的距离。向量的模是非负实数，表示向量的大小。

向量的加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。

总结词

向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则。具体来说，如果两个向量A和B相加，可以按照平行四边形法则将它们首尾相接，形成一个新的向量C，即C=A+B。

详细描述

02

向量的数量积与向量积

定义

两个向量的数量积定义为它们的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积。

几何意义

数量积为0当且仅当两个向量垂直，数量积为正数当且仅当两个向量夹角为锐角，数量积为负数当且仅当两个向量夹角为钝角。

坐标表示

若向量$overset{longrightarrow}{a}=(a_1,a_2,a_3)$，向量$overset{longrightarrow}{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$。

定义：两个向量的向量积定义为垂直于这两个向量的一个向量，其模长等于这两个向量构成的平行四边形的面积。

几何意义：向量积为0当且仅当两个向量平行，向量积为非零向量当且仅当两个向量不平行。

坐标表示：若向量$overset{longrightarrow}{a}=(a_1,a_2,a_3)$，向量$overset{longrightarrow}{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则$overset{longrightarrow}{a}timesoverset{longrightarrow}{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$。

定义：三个向量的混合积定义为一个标量，该标量等于这三个向量构成的平行六面体的体积。

几何意义：混合积为0当且仅当三个向量共面，混合积为非零标量当且仅当三个向量不共面。

坐标表示：若向量$\overset{\longrightarrow}{a}=(a_1,a_2,a_3)$，向量$\overset{\longrightarrow}{b}=(b_1,b_2,b_3)$，向量$\overset{\longrightarrow}{c}=(c_1,c_2,c_3)$，则$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot(\overset{\longrightarrow}{b}\times\overset{\longrightarrow}{c})=a_1(b_2c_3-b_3c_2)-a_2(b_1c_3-b_3c_1)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)$。

03

向量的线性运算

总结词

数乘是向量运算中的一种基本运算，它表示用一个实数去乘一个向量，其实质是改变向量的长度和方向。

详细描述

数乘的定义为一个实数k与一个向量v的数乘表示为kv，其中v是一个向量，k是一个实数。数乘的结果是一个新的向量，其长度为|kv|=|k||v|，方向与原向量v相同当k0时，相反当k0时。

向量的减法是线性运算中的一种基本运算，它表示从一个向量中减去另一个向量。

总结词

向量的减法定义为u-v=u+(-v)，即从一个向量中减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量。向量的减法满足结合性和交换性，即(u-v)-w=u-(v+w)和u-v=v-u。

详细描述

04

向量的向量的模长和向量的方向

1

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向量的大小或长度称为向量的模长，用符号表示。

定义

模长可以通过向量的坐标进行计算，即$overset{longrightarrow}{a}=sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$。

计算方法

模长表示向量在空间中的“长度”，即从起点到终点的距离。

几何意义

向量所指的方向称为向量的方向。

定义

分类

几何意义

根据方向的不同，向量可以分为正向、负向和零向量。

方向表示向量在空间中的指向，即从起点到终点的路径