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空间向量及其运算性质

目录CATALOGUE空间向量的基本概念向量的数量积和向量积向量的线性运算性质向量的向量积运算性质向量的混合积运算性质向量的模和向量的数量积的关系

空间向量的基本概念CATALOGUE01

向量的表示向量可以用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。向量也可以用坐标表示，即由起点和终点的坐标差值确定。

向量的模表示向量的长度或大小，计算公式为：$left|vec{A}right|=sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}$。向量的模具有非负性，即$left|vec{A}right|geq0$。向量的模

向量的加法满足平行四边形法则，即以起点为起点，终点为另一向量终点的向量相加，得到新的向量。向量的加法满足交换律和结合律，即$vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$和$(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。向量的加法

数乘向量数乘向量是指用一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。数乘向量的结果向量的模是原向量模的数倍，方向与原向量相同或相反。

向量的数量积和向量积CATALOGUE02

VS向量的数量积是一个标量，表示两个向量的相似程度。详细描述向量的数量积定义为两个向量对应分量乘积之和，即$mathbf{A}cdotmathbf{B}=|mathbf{A}||mathbf{B}|costheta$，其中$theta$是两向量的夹角。数量积的值域为$[-1,1]$，当值为1时表示两向量同向，值为-1时表示两向量反向，值为0时表示两向量垂直。总结词向量的数量积

向量的向量积是一个向量，表示两个向量的垂直程度。总结词向量的向量积定义为两个向量对应分量乘积之差，即$mathbf{A}timesmathbf{B}$。向量积的方向垂直于两向量所在的平面，其大小等于两向量构成的平行四边形的面积。向量积满足反交换律，即$mathbf{A}timesmathbf{B}=-mathbf{B}timesmathbf{A}$。详细描述向量的向量积

向量的混合积是一个标量，表示三个向量的垂直程度。向量的混合积定义为三个向量对应分量乘积之和，即$(mathbf{A}cdotmathbf{B})mathbf{C}-(mathbf{A}cdotmathbf{C})mathbf{B}+(mathbf{B}cdotmathbf{C})mathbf{A}$。混合积的值域为$[-1,1]$，当值为1时表示三个向量同向，值为-1时表示三个向量两两垂直，值为0时表示三个向量两两共面。总结词详细描述向量的混合积

向量的线性运算性质CATALOGUE03

向量的加法交换律向量加法满足交换律，即对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，有$overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}{b}=overset{longrightarrow}{b}+overset{longrightarrow}{a}$。向量的加法结合律向量加法满足结合律，即对于任意三个向量$overset{longrightarrow}{a}$、$overset{longrightarrow}{b}$和$overset{longrightarrow}{c}$，有$(overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}{b})+overset{longrightarrow}{c}=overset{longrightarrow}{a}+(overset{longrightarrow}{b}+overset{longrightarrow}{c})$。向量的加法交换律和结合律

数乘的分配律数乘的分配律：对于任意实数$k$、向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和向量$\overset{\longrightarrow}{b}$，有$k(\overset{\longrightarrow}{a}+\overset{\longrightarrow}{b})=k\overset{\longrightarrow}{a}+k\overset{\longrightarrow}{b}$。

向量加法的零元向量加法的零元：零向量是向量加法的零元，即对于任意向量$\overset{\longrightarrow}{a}$，有$\overset{\