高二数学二面角课件 人教.pptVIP

二面角——江西省高安教育集团2024/12/24

巴黎卢浮宫2024/12/24

1二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（1）半平面——（2）二面角——llllαlαl2024/12/24

αβBOAa(3)二面角画法——如下图l（4）二面角的记法——“面1—棱—面2”如：①以直线a为棱，以α、β为半平面的二面角记作：③以直线AB为棱，平面CAB、平面DAB为半平面的二面角记作：等等。②以直线l为棱，以平面ABCD、平面A1B1C1D1为半平面的二面角记作：或“A—l—A1”，等等。？“α—a—β”？“面ABCD—l—面A1B1C1D1”？“C—AB—D”2024/12/24

等角定理—空间中若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。αβB。OA(5)二面角的平面角——垂直于二面角的棱的任一平面与两个半平面的交线所成的角叫做二面角的平面角。或：从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。①二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。?αβB。OAB1。O1A1②二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。B。OA（注）αβB。OA2024/12/24

注：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10??lOAB??AOB(1)(2)2024/12/24

(6)二面角的范围：[0。,180。]（7）直二面角——平面角为直角的二面角叫做直二面角OAB2024/12/24

二.作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法2024/12/24

1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是基础练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60o2024/12/24

例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60o∠BPM=∠BPN=45o，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45o∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60o∴CD=PCa∴∠COD=90o因此，二面角的度数为90oaOPC2024/12/24

例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60o∴∠AOB=120o∴这二面角的度数为120o解：βαABPιO2024/12/24

OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90o∴OE∥BC且OEBC在Rt△POE中，OE，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP2024/12/24

二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”2024/12/24

练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30o的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。βαACBOD练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1-BD