名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库.pdfVIP

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库

北大重大

第一部分名校考研真题

第1章多项式

一、判断题

1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南

京大学研]

【答案】对查看答案

【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α＋βi，b＝α＋βi其中

1122

α，α，β，β为有理数，故

1212

a±b＝（α＋βi）±（α＋βi）＝（α±α）＋（β±β）i∈P

11221212

ab＝（α＋βi）（α＋βi）＝（αα－ββ）＋（αβ＋αβ）i∈P

112212121221

又令c＝α＋βi，d＝α＋βi，其中α，α，β，β为有理数且d≠0，即α≠0，β

334434344

≠0，有

4

综上所述得P为数域．

2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k

重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]

【答案】错查看答案

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

【解析】反例是f（x）＝（x－a）＋（x－a），这里f（a）＝0，并且

k＋32

f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）

k

的k重根（k≥1）．

3．设f（x）＝x＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]

4

【答案】对查看答案

【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因

判别法知，它在有理数域上不可约．

二、计算题

1．f（x）＝x＋6x＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清

32

华大学研]

解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则

（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））