19-20 第1讲 1　平面直角坐标系.doc

一平面直角坐标系

学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用.2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)3.能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．

教材整理1平面直角坐标系

阅读教材P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题．

1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．

2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．

3．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．

点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为()

A．(3,6) B．(3，－6)

C．(2，－4) D．(－2,4)

[解析]设对称点的坐标为(x，y)，

则x－1＝2，且y＋2＝－4，

∴x＝3，且y＝－6.

[答案]B

教材整理2平面直角坐标系中的伸缩变换

阅读教材P4～P8“习题”以上部分，完成下列问题．

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x?λ0?，,y′＝μ·y?μ0?))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()

A．椭圆 B．比原来大的圆

C．比原来小的圆 D．双曲线

[解析]由伸缩变换的意义可得．

[答案]D

2．y＝cosx经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后，曲线方程变为()

A．y′＝3coseq\f(x′,2) B．y′＝3cos2x′

C．y′＝eq\f(1,3)coseq\f(x′,2) D．y′＝eq\f(1,3)cos2x′

[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝3y))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′,y＝\f(1,3)y′))，又∵y＝cosx，

∴eq\f(1,3)y′＝coseq\f(x′,2)，即y′＝3coseq\f(x′,2).

[答案]A

运用坐标法解决平面几何问题

【例1】已知?ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．

[思路探究]从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．

[自主解答]法一(坐标法)

以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，

设B(a,0)，C(b，c)，

则AC的中点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2)))，由对称性知D(b－a，c)，

所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，

|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，

|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab

＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，

|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，

∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．

法二(向量法)

在?ABCD中，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))，

两边平方得eq\o(AC,\s\up12(→))2＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＝eq\o(AB,\s\up12(→))2＋eq\o(AD,\s\up12(→))2＋2eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AD,\s\up12(→))，

同理得eq\o(BD,\s\up12(→))2＝|eq\o(BD,\s\up12(→))|2＝eq\o(BA,\s\up12(→))2＋eq\o(BC,\s\up12(→))2＋2eq\o(BA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))，

以上两式相加，得

|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up12(→))|2

＝2(|eq\o(AB,\s\up12(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up12