专题17 正方形的性质与判定（解析版）.pdfVIP

2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷

专题17正方形的性质与判定

阅卷人

一、选择题(共10题；每题2分，共20分)

得分

1．（2分）（2022八下·范县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，

PEBC于点E，PFCD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：

①PD2EC；②四边形PECF的周长为8；

③APEF；④APEF；⑤EF的最小值为22．

其中正确结论的序号为（）

A．①②③⑤B．②③④C．②③④⑤D．②③⑤

【答案】C

【规范解答】①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，

∴PF∥BC，

∴∠DPF＝∠DBC，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠DBC＝45°

∴∠DPF＝∠DBC＝45°，

∴∠PDF＝∠DPF＝45°，

∴PF＝EC＝DF，

222222

在Rt△DPF中，DP＝DF+PF＝DF+DF＝2DF，

∴PD＝2DF

∴PD=2EC．

故①不符合题意；

②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四边形PECF为矩形，

又∵PE=CE

∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，

故②符合题意；

③如图1

延长FP交AB于G，延长AP交EF于H，

在正方形ABCD中，

∴CD∥AB

又∵PF⊥于CD

∴∠AGP=90°；

由②知四边形PECF是矩形，

∴∠EPF=90°

∴∠AGP=∠EPF；

由①知PF=DF，

又∵AG=DF

∴AG=PF

∴四边形BGPE是正方形，

∴PG=PE

∴△AGP≌△FPE

∴∠BAP=∠PFE

又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余

∴∠FPH与∠PFE互余

∴∠PHF=90°即AP⊥EF

故③符合题意；

④由③知，△AGP≌△FPE

∴AP=EF

故④符合题意；

⑤当APBC时，AP最小；

1122122

APBCABAD4422

222

∴EF的最小值为22．故⑤符合题意．

综上：②③④⑤符合题意．

故答案为：C．

【思路点拨】结合图形，利用正方形的性质，勾股定理等计算求解即可。

2．（2分）（2022八下·抚远期末）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将DCB绕

点D顺时针旋转45°得到DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结

论：①四边形AEGF是菱形；②AED≌GED；③DFG112.5；④BCFG1.5．其中结论正

确的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

【答案】A

【规范解答】解：证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，

∵△DHG是由△DBC旋转得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，

在Rt△ADE和Rt△GDE中，

DEDE



，

DADG



∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②符合题意；

∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，

∴∠AED=∠AFE=67.5°，

∴AE=AF=EG，

又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，

∴GH∥AC，

∴四边形AEGF是菱形，故①符合题意；

∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③符合题意；

∵AE=FG=EG=BG，BE=HE，

∴BE＞AE，

1

∴AE＜，

2

∴CB+FG