专题17 正方形中“对角互补”模型（解析版）.pdfVIP

专题17正方形中“对角互补”模型

解题思路

【对角互补-模型归纳】

在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、

BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、

H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形，

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S四边形S正方形ABCD

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典例分析

【典例1】（2021春•宁阳县期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线

AC、BD相交于O．

（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、

BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用

等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

222222

【答案】（1）EF＝AF+BF（2）EF＝BF+AE

222

【解答】解：（1）EF＝AF+BF．

理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，

∴∠EOF＝∠AOB＝90°，

∴∠EOA＝∠FOB，

在△EOA和△FOB中，

，

∴△EOA≌△FOB（ASA），

∴AE＝BF，

22222

在Rt△EAF中，EF＝AE+AF＝AF+BF；

（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，

在△OAE和△OBH中，

∴△OAE≌△OBH（SAS），

∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，

∵∠EOF＝45°，

∴∠AOE+∠BOF＝45°，

∴∠BOF+∠BOH＝45°，

∴∠FOE＝∠FOH＝45°，

在△FOE和△FOH中，•

，

∴△FOE≌△FOH（SAS），

∴EF＝FH，

∵∠FBH＝90°，

222

∴FH＝BF+BH，

222

∴EF＝BF+AE，

【变式1-1】（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，

BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．

求证：CE＝DF．

【答案】略

【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，

∴∠DOF+∠COF＝90°，

∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，

∴∠COE＝∠DOF，

∴△COE≌△DOF（ASA），

∴CE＝DF．

【典例2】（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝

3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，BC于

点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请

说明理由．

【答案】（1）略（2）CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝