专题29 二次函数与全等、相似存在性问题（原卷版）-【重难点突破】2021-2022学年九年级数学（上册+下册）常考题专练（北师大版）.pdf

专题29二次函数与相似、全等存在性问题

题型一相似三角形存在性问题

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性

问题”．

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判

定方法，解决问题

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”

类、“双动点”两类问题．

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对

比判定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优

先考虑思路1．

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了．

2

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．

（1）求抛物线C的对称轴．

（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C．

1

①求抛物线C1的解析式．

②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一

象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以

点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2

2．如图，抛物线y＝ax+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接

BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与

△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

2

3．如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴的另一交点

为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称l交AD于点E，连接OE交AB于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：OE⊥AB；

（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三

角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

2

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．

（1）求证：∠ACB＝90°；

（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，点G

是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线

x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过