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专题三 第1讲学习资料.docx

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第1讲空间几何体、空间中的位置关系(小题)

热点一三视图与直观图

1.一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正视图的下面,长度与正视图的长度一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.

2.由三视图还原几何体的步骤

一般先依据俯视图确定底面,再利用正视图与侧视图确定几何体.

例1(1)(2019·钦州模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CD,CC1,A1B1的中点,用过点E,F,G的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()

答案C

解析取AA1的中点H,连接GH,则GH为过点E,F,G的平面与正方体的面A1B1BA的交线.

延长GH,交BA的延长线与点P,连接EP,交AD于点N,则NE为过点E,F,G的平面与正方体的面ABCD的交线.

同理,延长EF,交D1C1的延长线于点Q,连接GQ,交B1C1于点M,则FM为过点E,F,G的平面与正方体的面BCC1B1的交线.

所以过点E,F,G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.

故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项C所示.

(2)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.

答案2+eq\f(\r(2),2)

解析如图,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,

则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=eq\f(\r(2),2).

而四边形AECD为矩形,AD=1,

∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=eq\f(\r(2),2)+1.

由此可还原原图形如图所示.

在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=eq\f(\r(2),2)+1,

且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,

∴这块菜地的面积为S=eq\f(1,2)(A′D′+B′C′)·A′B′

=eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+1+\f(\r(2),2)))×2=2+eq\f(\r(2),2).

跟踪演练1(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是()

A.①④B.②③C.②④D.①②

答案A

解析从上下方向看,△PAC的射影为图①所示的情况;

从左右方向看,△PAC的射影为图④所示的情况;

从前后方向看,△PAC的射影为图④所示的情况.

(2)(2019·南宁测试)已知一个四棱锥的三视图如图.图中网格小正方形边长为1.则该几何体的各条棱中,最长的棱的长度为()

A.4eq\r(5)B.6C.4eq\r(2)D.4

答案B

解析由三视图可得该四棱锥为P-ABCD,

由题中数据可得AB=BC=2,CD=eq\r(22+12)=eq\r(5),

AD=eq\r(42+12)=eq\r(17),

BP=eq\r(42+42)=4eq\r(2),CP=eq\r(42+22)=2eq\r(5),

DP=eq\r(42+12)=eq\r(17),

AP=eq\r(42+42+22)=6,

即最长的棱为AP,长度为6.

热点二表面积与体积

空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.

例2(1)(2019·安顺模拟)如图,为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()

A.(12+4eq\r(3))π B.(6+2eq\r(3))π

C.(9+2eq\r(3))π D.(15+4eq\r(3))π

答案B

解析结合题意可知,该几何体为一个圆锥挖去了一个小圆锥,

大圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×2eq\r(3)π×2eq\r(3)=6π,

挖去的圆锥侧面积为eq\f(1,2)×2eq\r(3)π×2=2eq\r(3)π,

故总表面积为(6+2eq\r(3))π.

(2)(2019·内江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示,图中网格小正方形边长为1,则该锲体的体积为()

A

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