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《三角函数的简单应用》教学设计

教学设计

一、阅读引导

1.阅读教材，问题导入.

阅读教材第64~65页，回答下面的问题：

水车问题的探究，观察其变化规律，抽象为什么类型的函数？

提示：通过探究水车问题，将此函数模型抽象为三角函数模型，解析式为.

2.归纳总结，核心必记.

解三角函数实际应用问题的基本步骤：

设计意图：通过阅读教材内容，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学建模核心素养.

二、知识深化

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.

思考1回忆从前所学，指数函数、对数函数、幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的？研究具有周期性变化的实际问题，用哪个模型？

提示：描述现实世界中不同增长规律的函数模型；研究具有周期性变化的实际问题，用三角函数模型.

思考2数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？

提示：数学模型是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述.建立数学模型的方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.

设计意图：通过了解三角函数模型是研究具有周期性变化的实际问题的函数模型，以及建立数学模型的方法，培养学生的数学建模核心素养.

三、例题剖析

例水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图.设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离，逆时针匀速旋转一圈的时间是，水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：m）.

（1）求h与旋转时间t（单位：s）的函数解析式，并画出这个函数的图象；

（2）当雨季河水不涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？

想一想1点P逆时针旋转一圈的时间是函数的周期吗？

想一想2如何确定函数的解析式？

想一想3如何利用函数的解析式分析函数的性质？

解设点P在水面上时高度h为0，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值.

（1）过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h.过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N，设Q为水车与水面交点，.由已知，水车的半径；水车中心到水面的距离；水车旋转一圈所需的时间为，转速为.

不妨从水车与水面交点Q时开始计时旋转水车转动的角的大小为，即

.

从图中不难看出：

=1\*GB3①

因为，所以.因此

，=2\*GB3②

这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式.

找出使取的五个关键点，列表（如下表）、描点，画出函数在区间上的图象（如下图）：

（2）雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化.水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大.

巩固练习：教材第65页练习第1题.

【师生活动】教师引导学生抓住文字叙述中的关键字句，提炼成数学语言，写成数学符号，转化为三角函数的应用问题，后面解决过程可由学生自己完成.

【归纳总结】实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：

（1）自变量的变化范围.

（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.

（3）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当的数学模型.

设计意图：应用三角函数模型解决实际问题，掌握三角函数模型运算和求解的特点，培养学生的数学建模核心素养.

四、课堂小结

应用三角函数模型解决实际问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型，解决问题的一般程序是：

（1）审题：先审清楚题目条件、要求，理解数学关系.

（2）建模：分析题目周期性，选择适当的三角函数模型.

（3）求解：对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.

（4）还原：把数学结论还原为实际问题的解答.

设计意图：通过梳理本节知识，培养学生的归纳总结能力.

五、布置作业

教材第66页习题1-8A组第2，3题.

板书设计

1.8三角函数的简单应用

一、阅读引导

1.水车问题

三角函数模型

2.解决三角函数实际应用问题的基本步骤

二、知识深化

三、例题剖析

例

四、课堂小结

五、