【学案】《1.5.1_第2课时_正弦函数性质的应用》 (1).docVIP

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第二课时正弦函数性质的应用

课程内容标准

学科素养凝练

借助于正弦函数的图象理解正弦函数在[0,2π]上的性质．

通过正弦函数的图象研究函数的性质，提升数学抽象及数学直观素养.

正弦函数的性质

函数

正弦函数y＝sinx，x∈R

图象

定义域

R

值域

[－1,1]

最值

当x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；

当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1

周期性

是周期函数，周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，2π是它的最小正周期

奇偶性

奇函数，图象关于原点对称

函数

正弦函数y＝sinx，x∈R

续表

单调性

在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z上是增函数；

在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z上是减函数

对称轴

x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z

对称中心

(kπ，0)，k∈Z

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．

(1)正弦函数在定义域上是单调函数． ()

×提示正弦函数不是定义域上的单调函数．

(2)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(×)

(3)y＝sin|x|是偶函数．(√)

2．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于 ()

A．0 B．1

C．－1 D．±1

A[由sin(－x)－|a|＝－sinx＋|a|，得|a|＝0，故a＝0.]

3．(教材P32练习3改编)函数y＝－2sin3x的最小正周期为________.

eq\f(2π,3)[由正弦函数的周期公式可得T＝eq\f(2π,3).]

探究一与正弦函数有关的值域问题

[知能解读]

1．函数y＝sinx的值域是研究其他复合函数的值域和最值的重要依据.

2．形如y＝asinx＋b的函数最值或值域问题，一般利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解.

3．形如y＝asin2x＋bsinx＋c的最值或值域求法，一般用配方法．

求下列函数的最值，并求取得最值时x的取值集合：

(1)y＝3－2sin2x;

(2)y＝sin2x－4sinx＋5.

解(1)∵－1≤sin2x≤1，∴－2≤－2sin2x≤2.

∴y∈[1,5]．

∴当x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)时，函数有最小值1；

当x＝kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)时，函数有最大值5.

故当函数取最小值1时，

x的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))，

当函数取最大值5时，

x的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)).

(2)∵y＝(sinx－2)2＋1，sinx∈[－1,1]，

∴当sinx＝－1，即x＝2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z时，ymax＝10；

当sinx＝1，即x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时，ymin＝2.

故y取得最大值10时，x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))；y取得最小值2时，x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

[变式]将例1(1)的条件变为“已知函数f(x)＝2asinx＋b的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，函数的最大值为1，最小值为－5”，试求a和b的值．

解∵－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(2π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sinx≤1.

若a＝0，则不满足题意．

若a＞0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,－\r(3)a＋b＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3)，,b＝－23＋12\r(3).))

若a＜0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－5，,－\r(3)a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al