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广州空港实验中学2024-2025学年高二第一学期12月月考

数学

本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟.

2024.12.12

注意事项

1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的．

1．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率（）

A． B． C． D．

2．双曲线的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

3．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人至少有一个及格的概率为（）

A． B． C． D．

4．点到直线的距离的取值范围为（）

A． B． C． D．

5．如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（）

A． B． C． D．

6．直线关于直线对称的直线方程是（）

A． B． C． D．

7．在三棱柱中，⊥底面，，，则与平面所成角的大小为（）

A． B． C． D．

8．已知点在直线上的运动，则的最小值是（）

A． B． C． D．

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．

9．与向量共线的单位向量是（）

A． B． C． D．

10．已知圆，则下列说法正确的是（）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最大值为

11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）

A．当时，有

B．当时，的周长为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分．

12．已知空间向量和的夹角为，，，则.

13．双曲线的两个焦点分别是，焦距为，是双曲线上的一点，且，则.

14．椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为.

四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

15.（本题满分13分）

若方程所表示的曲线为

（1）若时，求曲线的焦点坐标和顶点坐标．

（2）若曲线为双曲线，求的取值范围和焦点坐标．

16.（本题满分15分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为、，两人租车时间都不会超过四小时．

（1）求甲、乙两人所付租车费用都是元的概率．

（2）设为甲、乙两人所付的租车费用之和，求值．

17.（本题满分15分）

求下列各圆的方程：

（1）圆心为且过点；

（2）圆心在直线上，且经过原点和点．

18.（本题满分17分）

已知椭圆的离心率是，椭圆过点．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知是椭圆的左、右焦点，过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于两点，求的取值范围．

19.（本题满分17分）

如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的等边三角形，．

（1）证明，平面⊥平面．

（2）若点为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．

广州空港实验中学2024-2025学年高二第一学期12月月考

数学参考答案

一、单选题

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

C

C

C

A

A

A

8．【详解】

二、多选题

9

10

11

AD

CD

AD

三、填空题

12．

13．9

14．

四、解答题

15．【详解】（1）当时，方程化为，这是焦点在轴上的椭圆

，可得，故，所以焦点为和

又因为，故曲线的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为

（2）要使方程表示双曲线，只需，解得，故的取值范围为．

当时，，，所以双曲线的焦点在轴上．将双曲线化成标准方程有．

从而，所以．

于是，该双曲线的焦点坐标分别为，．

16．【详解】（1）因为甲、乙超过两小时但不超过三小时还车的