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勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备

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数论基础知识

小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数

1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；

2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。

一、因数与倍数

1、因数与倍数

（1）定义：

定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b

的倍数。

注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数）

一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

（2）一个数的因数的特点：

①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；

②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数

（3）完全平方数的因数特征：

①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。

②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；

③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完

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全平方数的个数是54个。（31=961，44=1936，54=2916）

2、数的整除（数的倍数）

（1）定义：

定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，

或a能整除以b。

定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被

b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b）

（2）整除的性质：

如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。

如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：

①末位判别法

2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。

4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。

8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。

②截断求和法（从右开始截）

9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和

99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和

999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和

③截断求差法（从右开始截）

11的倍数特征：一位截断求差

101的倍数特征：两位截断求差

1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

④公倍数法

勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备

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6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。

12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。

3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）

（1）定义：