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专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题(解析版).pdf

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专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题

图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.

产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就

是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.

一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.

一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.关

键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.

2

【例1】(2021•沈阳)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B

两点(点A在点B的左侧),点B坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶

点,连接PC.

(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.

第1页共84页.

(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D,点Q为直线BC上一动点.

①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时,求点Q的坐标;

②在①的条件下,当点Q在x轴上方时,过点Q作直线l垂直于AQ,直线y=x﹣交直线l于点F,

点G在直线y=x﹣上,且AG=AQ时,请直接写出GF的长.

2

【分析】(1)将(0,3)和(3,0)代入y=﹣x+bx+c可得;

(2)求出△PCD的面积,设Q(a,3﹣a)利用S=2S求得;

①△QAB△PCD

②利用AQ=AG列出方程,求出G点的坐标,根据联立直线BC和QF的关系式,求出F的坐标,从而

求得GF.

【解答】解(1)由题意得,

∴b=2,

2

∴y=﹣x+2x+3

2

=﹣((x﹣1)+4,

∴P(1,4).

(2)①如图1,

第2页共84页.

作CE⊥PD于E,

∵C(0,3),B(3,0),

∴直线BC:y=﹣x+3,

∴D(1,2),可设Q(a,3﹣a),

∴CE=PE=DE,

∴△PCD是等腰直角三角形,

∴S△PCD=PD•CE=×2×1=1,

∴AB•|3﹣a|=2,

∴×4•|3﹣a|=2,

∴a=2或a=4.

∴Q(2,1)或(4,﹣1).

②如图2,

设G(m,m﹣),

22

由AG=AQ得,

222

(m+1)+=(2+1)+1,

化简,得

2

5m+2m﹣16=0,

∴m=﹣2,m=,

12

第3页共84页.

∴G(﹣2,﹣3),G(,﹣),

12

作QH⊥AB于H,

∵AQ⊥QF,

∴△AHQ∽△QHM,

2

∴QH=AH•HM,

2

即:1=3•HM,

∴HM=,

∴M(,0),

设直线QM是:y=kx+b,

∴,

∴k=﹣3,b=7,

∴y=﹣3x+7,

由得,

x=,y=﹣

∴F(,﹣)

∴GF=

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