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专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题
图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.
产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就
是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.
一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.
一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.关
键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.
2
【例1】(2021•沈阳)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B
两点(点A在点B的左侧),点B坐标是(3,0).抛物线与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶
点,连接PC.
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.
第1页共84页.
(2)直线BC与抛物线对称轴交于点D,点Q为直线BC上一动点.
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时,求点Q的坐标;
②在①的条件下,当点Q在x轴上方时,过点Q作直线l垂直于AQ,直线y=x﹣交直线l于点F,
点G在直线y=x﹣上,且AG=AQ时,请直接写出GF的长.
2
【分析】(1)将(0,3)和(3,0)代入y=﹣x+bx+c可得;
(2)求出△PCD的面积,设Q(a,3﹣a)利用S=2S求得;
①△QAB△PCD
②利用AQ=AG列出方程,求出G点的坐标,根据联立直线BC和QF的关系式,求出F的坐标,从而
求得GF.
【解答】解(1)由题意得,
,
∴b=2,
2
∴y=﹣x+2x+3
2
=﹣((x﹣1)+4,
∴P(1,4).
(2)①如图1,
第2页共84页.
作CE⊥PD于E,
∵C(0,3),B(3,0),
∴直线BC:y=﹣x+3,
∴D(1,2),可设Q(a,3﹣a),
∴CE=PE=DE,
∴△PCD是等腰直角三角形,
∴S△PCD=PD•CE=×2×1=1,
∴AB•|3﹣a|=2,
∴×4•|3﹣a|=2,
∴a=2或a=4.
∴Q(2,1)或(4,﹣1).
②如图2,
设G(m,m﹣),
22
由AG=AQ得,
222
(m+1)+=(2+1)+1,
化简,得
2
5m+2m﹣16=0,
∴m=﹣2,m=,
12
第3页共84页.
∴G(﹣2,﹣3),G(,﹣),
12
作QH⊥AB于H,
∵AQ⊥QF,
∴△AHQ∽△QHM,
2
∴QH=AH•HM,
2
即:1=3•HM,
∴HM=,
∴M(,0),
设直线QM是:y=kx+b,
∴,
∴k=﹣3,b=7,
∴y=﹣3x+7,
由得,
x=,y=﹣
∴F(,﹣)
∴GF=
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