专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题（解析版）.pdfVIP

专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就

是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关

键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

2

【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A、B

两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶

点，连接PC．

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．

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（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．

①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，

点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．

2

【分析】（1）将（0，3）和（3，0）代入y＝﹣x+bx+c可得；

（2）求出△PCD的面积，设Q（a，3﹣a）利用S＝2S求得；

①△QAB△PCD

②利用AQ＝AG列出方程，求出G点的坐标，根据联立直线BC和QF的关系式，求出F的坐标，从而

求得GF．

【解答】解（1）由题意得，

，

∴b＝2，

2

∴y＝﹣x+2x+3

2

＝﹣（（x﹣1）+4，

∴P（1，4）．

（2）①如图1，

第2页共84页.

作CE⊥PD于E，

∵C（0，3），B（3，0），

∴直线BC：y＝﹣x+3，

∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），

∴CE＝PE＝DE，

∴△PCD是等腰直角三角形，

∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，

∴AB•|3﹣a|＝2，

∴×4•|3﹣a|＝2，

∴a＝2或a＝4．

∴Q（2，1）或（4，﹣1）．

②如图2，

设G（m，m﹣），

22

由AG＝AQ得，

222

（m+1）+＝（2+1）+1，

化简，得

2

5m+2m﹣16＝0，

∴m＝﹣2，m＝，

12

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∴G（﹣2，﹣3），G（，﹣），

12

作QH⊥AB于H，

∵AQ⊥QF，

∴△AHQ∽△QHM，

2

∴QH＝AH•HM，

2

即：1＝3•HM，

∴HM＝，

∴M（，0），

设直线QM是：y＝kx+b，

∴，

∴k＝﹣3，b＝7，

∴y＝﹣3x+7，

由得，

x＝，y＝﹣

∴F（，﹣）

∴GF＝