专题4二次函数与相似问题（解析版）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题4二次函数与相似问题

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为

特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导

边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后

利用相似来列方程求解。

相似三角形常见的判定方法：

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应

用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方

程，解方程并检验．

如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成

ABDEABDF

比例，分和两种情况列方程．

ACDFACDE

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应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是

确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

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【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB

与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；

（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．

【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；

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（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两

种情况的点的坐标，即可得到答案．

2

【解析】（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x+bx+c，

，

解得，

2

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x+2x+3；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，

，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，

当y＝0时，﹣x+3＝0，

解得：x＝2，

∴C点坐标为（2，0），

∵PD⊥x轴，PE∥x轴，

∴∠ACO＝∠DEP，

∴Rt△DPE∽Rt△AOC，

∴，

∴PE＝PD，

∴PD+PE＝PD，

2

设点P的坐标为（a，﹣a+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），

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