专题24以三角形为载体的几何综合问题 （解析版）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题24以三角形为载体的几何综合问题

【例1】（2022·山东枣庄·中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从

点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方

向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

【答案】(1)当t＝2时，PQ⊥BC

4

(2)当t的值为时，四边形QPCP′为菱形

3

【分析】（1）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

⊥⊥ΔΔΔ

（2）作于，于，证明出为直角三角形，进一步得出和

△△

为等腰直角三角形，再证明四边形为矩形，利用勾股定理在、中，

结合四边形为菱形，建立等式进行求解．

【详解】（1）解：（1）如图①，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，

2222

∴AB＝+＝4+4=42（cm），

2

由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，

则BP＝（42﹣2t）cm，

∵PQ⊥BC，

∴∠PQB＝90°，

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∴∠PQB＝∠ACB，

∴PQ∥AC，

∠=∠

∴{，

∠=∠

∴△∽△，

∴＝，

42−2

∴=，

424

解得：t＝2，

∴当t＝2时，PQ⊥BC．

⊥⊥

（2）解：作于，于，如图，

=2=(0⩽4)

，，

∵∠=90°==4cm

，，

∴Δ为直角三角形，

∴∠=∠=45°，

∴ΔΔ

和为等腰直角三角形，

2

∴===cm=

，，

2

∴=−=(4−)cm，

∵四边形为矩形，

∴==(4−)cm，

∴=(4−)cm，

∴=−=(4−2)cm，

22222

在△中，=+=+(4−)，

22222

在△，=+=(4−)+(4−2)，

∵四边形为菱形，

∴=，

2222

∴+(4−)=(4−)+(4−2)，

4

∴=，=4（舍去）．

12

3

4

∴的值为．

3

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