《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.pdfVIP

百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府

§6.1测地曲率

1.证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。

证明：设旋转面方程为，二{f(v)cosu,f(v)sinu,g(v)},

22222

，

f(v)(du)(f(v)g(v))(dv)

二

Ef(v),G=f(v)g(v)

—曲线(常数)，

纬线即u：v=v

0

:

1；lInf

其测地曲率为k

gnE

2,f2g2

：：v

」。

(v)f(v).

o为常数。

f2(v)g2(v)

oo

证明：在球面

2、S

r二(acosucosv,acosusinv,asinu)，

31H

u,0v2

22

C

上，曲线的测地曲率可表示成

d^(s)dv(s

k-sin(u(s))

gds)

百川东到海，何时复西归?少壮不努力，老大徒伤悲。——汉乐府

C

其中是球面上曲线的参数方程，

(u(s),v(s))S

C

是曲线的弧长参数，

s

(s)Cu

是曲线与球面上经线(即-曲

百