数学建模之古典模型(修).pdfVIP

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

一、象棋

在圆周上均匀放上四粒围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若是白色，就在其间放一

粒黑子，若是异色就在其间放一粒白子，然后把4粒棋子取走，完成这一程序就算是一次操

作。证明：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4次，圆周上就全

是黑子。

解答：（1）构造能反映题设要求的赋值模型，简化问题

设开始的4粒棋子为Xi(i=1，2，3，4)并给棋子赋值

Xi为黑子时，Xi=1

Xi为白子时，Xi=-1(i=1，2，3，4)

并规定：若Xi与Xi+1为同色，XiXi+1=1

若Xi与Xi+1为异色，XiXi+1=-1

第一次操作后得到的4枚棋子可表示为：（x1x2）(x2x3)(x3x4)(x4x1)

第二次操作后得到的4枚棋子可表示为：（x1x2)(x2x3）(x2x3)(x3x4)(x3x4)(x4x1)

(x4x1)(x1x2)

最后都是（x1x2x3x4）

第四次操作后得到的4枚棋子都是1，这表明只需操作4次，圆周上的棋子全是黑子。

二、夫妻过河问题

有3对夫妻过河，船最多能载2人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其它男

子在一起，如何安排三对夫妻过河？

模型构成：

假设由北岸往南岸渡河，用向量（x，y）表示有x个男子、y个女子在北岸，其中0≤x,y≤

3，称向量(x,y)为状态向量；

由条件知，有些状态是可取的，有些是不可取的，如状态(2,3)是不可取的，而状态(3,1)

是可取的。

1)可取状态：

总共有10种可取状态具体如下：

(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)(0,3)

(0,2)(0,1)(0,0)(1,1)(2,2)

其中(i,i)表示i对夫妻

用S表示可取状态的集合，称为允许状态集合。

2)可取运载

(0,1)(0,2)(1,0)(2,0)(1,1)，其中(1,1)表示1对夫妻，用D表示可取运载的集合，

称为允许决策集合。

3)记第k次渡河前北岸男子数为，女子数为，称为状态；

记第k次渡河船上的男子数为，女子数为，称为决策。

所以状态随可取运载变化规律是（＊）称为状态转

移律

于是问题归结为：

求一系列的决策(k=1,2…n)，使状态∈S按规律(*)由初始状态＝(3,3)

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

经过有限步n达到状态＝(0,0).

模型求解：用穷举法不难验证一种结果如下：（括号内为北岸的状态）

s

n1

四、两鼠穿垣

今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。

问：何日相逢？各穿几何？

题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁