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第三章控制系统的时域分析法

3.2劳斯-霍尔维茨稳定性判据

稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。控制系统在实际运行中，

总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数

的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并

随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何分析系统

的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。

常用的稳定性分析方法有：

1.劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。它是根据系统特征

方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.

2.根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。它是以系统开环传递函数的某

一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参

数的变化情况。

3.奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根

据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这

一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。

4.李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用

于线性系统，也适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定

性。

一、稳定性的概念

稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其

底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，

经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能

使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力

作用，就再也不能回到原来的状态。

因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外

作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。

设系统在初始条件为零时，在单位理想脉冲作用下，这时系统的脉冲响应为c(t)。若

t→∞时，脉冲响应

这时，线性系统是稳定的。

设系统的特征方程D(s)=0的根为si，由于单位脉冲传递函数的拉氏变换为1，系统输

出的拉式变换为：

瞬态响应项表现为衰减、临界和发散三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。由

于输入量只影响到稳态响应，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是有界的：

|r(t)|∞，t≥0

则稳态响应也必定是有界的。则系统稳定性可以归结为，系统在任何一个有界输入的

作用下，其输出是否有界的问题。

一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界

输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。

线性系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置来确定。设单输入单输出线性

系统的微分方程为，即

则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式

来分析。这时，在任何初始条件下，若满足

则称