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2025年研究生考试考研经济类综合能力(396)强化训练必刷题精析

一、数学基础（共60题）

1、已知函数fx

答案：极值点为x=1和

解析：

首先，求函数的导数f′

f

令f′x=

3x2?6x

得到两个临界点x1=1

接下来，判断这两个点的极值性质。由于f″

因此，x1=1

对于x1

f

对于x2

f

这两个值即为函数的极大值和极小值。

2、设某企业生产某种产品的固定成本为1000元，每件产品的变动成本是20元，销售价格为40元。如果该企业希望获得500元的利润，需要卖出多少件产品？

答案：需要卖出75件产品。

解析：

设x为企业需要卖出的产品数量，则有以下等式表示企业的收入、成本和利润关系：

利润

其中，

总收入=销售价格×销量=40x

总成本=固定成本+变动成本×销量=1000+20x

根据题目要求，企业希望获得500元的利润，所以我们将利润设置为500，并解出x：

500=40x?1000+20x

因此，该企业需要卖出75件产品以达到500元的利润目标。

3、已知函数fx=2

答案：x1=

解析：

首先求fx

f

令f′

6

解这个二次方程，得：

x1=

为了判断这两个点是否为极值点，需要求fx

f

将x1=1和x

f″1

因为f″10，所以

因为f″23=0，无法直接判断x2=23

计算f1和f

所以，x1=1是fx的极小值点，极小值为f1=2

4、设某公司生产一种产品的边际成本为C′x=0.2x+10（元/单位），其中x

答案：3000元

解析：

边际成本是指每增加一个单位产品所增加的成本。要计算总成本的增加量，我们需要计算从0到10千件产量的边际成本的积分，即：

Δ

进行积分运算，我们得到：

Δ

由于这里的x表示的是千件，所以实际的总成本增加量是110*1000=110,000元。但题目中提到的固定成本并不影响总成本的增量计算，因为固定成本在任何产量水平下都是不变的。因此，当产量从0增加到10千件时，总成本增加了110,000元，简化为3000元可能是一个表述上的误差。正确答案应该是110,000元。

让我们使用代码解释器来验证这个计算。让我们通过代码解释器计算积分010

5、已知函数fx=1x2

答案：fx的极大值为f

解析：

首先求导数f′

f

令f′x=0，解得

当x0时，f′x

因此，fx在x=1

由于fx在0,+

6、设函数fx=x

答案：f

解析：

首先计算内层的f?1。因为?10，所以根据分段函数定义，我们使用x

然后，将得到的结果2再次代入到函数fx中。这次因为2≥0，所以我们使用3?x

因此，最终的答案是1。

7、已知函数fx=2x3

答案：f

解析：

要求函数fx

对于2x33

对于?4x2

对于5x，导数为d

常数项1的导数为0。

将各项导数相加，得到f′

8、设某商品的需求函数为Q=100?2P，其中Q是需求量，P

答案：为了找到最大化利润时的价格P和对应的利润，我们首先需要根据给定的需求函数和成本函数建立利润函数，然后求解其极值。

由需求函数Q=100?

利润函数定义为总收入减去总成本，即π=PQ?C

π

化简后得：

π

为了找到利润的最大值，我们需要对Q求导并令导数等于零：

d

从而得到Q=47。因此，最优价格

P

最后，我们可以计算最大利润：

π

所以，当公司设定价格P=26.5时，可以获得最大利润，此时的利润是

解析：本题考察的是基本的微观经济学概念，包括需求函数、成本函数以及利润最大化原则。通过构建利润函数，并利用微分学寻找其极值点，可以确定最优销售价格和最大可能的利润。这里应用了边际分析方法，即通过比较增加一单位产量所带来的额外收益（边际收益）与额外成本（边际成本），来决定最有利可图的生产水平。在本例中，当边际收益等于边际成本时，实现了利润的最大化。

9、设函数fx

答案：极值点为x=12

解析：

1、求一阶导数f′

2、令f′x=

3、求二阶导数f″

4、令f″x=

5、当x=12时，f

6、当x=0,1时，f″

7、计算f0=4,f

8、综上所述，极值点为x=12

10、设函数fx=3

答案：极值点为x=23

解析：

首先，求fx的一阶导数f

令f′x=

再次求fx的二阶导数f

由于f″x在x=23

又因为f″x=

因此，fx的极值点为x=2

11、已知函数fx=2x2

答案：f

解析：

首先，对函数fx进行简化。因为x

f

这里我们提取了x?

接下来，对简化后的函数求导。因为fx

f

第一部分2x

d

第二部分1x?1

d

将这两部分的结果相加，得到：

f

将2表示为2x

f

展开2x

f

因此，f′

f

12、已知函数fx=11+

答案：f

解析：

首先，由于fx在x=0

f

对每一项分别求导