高考理数备考-考点12 导数的应用.pdf

专题１２导数的应用

1.导数在研究函数中的应用

(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函

数一般不超过三次）.

2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式

函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．

2．生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

一、导数与函数的单调性

一般地,在某个区间(a,b)内:

f(x)0

(１）如果,函数fx）在这个区间内单调递增；

2）如果f(x)0,函数fx)在这个区间内单调递减；

（３)如果f(x)=0，函数f(x）在这个区间内是常数函数。

注意：(1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；

(2)在某个区间内，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减）的充分条件，而不

是必要条件。例如，函数f(x)x3在定义域(,)上是增函数,但f(x)3x20.

3）函数ｆ(x）在(a，b）内单调递增(减）的充要条件是f(x)0f(x)0)在(a，ｂ）内恒成

立，且f(x)在(a，b）的任意子区间内都不恒等于0．这就是说，在区间内的个别点处有f(x)0,

不影响函数fx）在区间内的单调性．

二、利用导数研究函数的极值和最值

1。函数的极值

一般地,对于函数ｙ=fx)，

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（１）若在点x=a处有f′a)=0，且在点ｘ=a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0,则称x=a为

ｆ(ｘ)的极小值点，f(a)叫做函数f(x）的极小值。

2)若在点x=b处有f(b)=0，且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则称x=ｂ为ｆ

(x)的极大值点，f(b)叫做函数fｘ)的极大值．

(3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

2。函数的最值

函数的最值,即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我

们有如下结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必



有最大值与最小值.

设函数fx在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,求fx在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:



（１)求fx在(a,b)内的极值；



(2）将函数fx的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较,其中最大的一个是最大值，最小的一



个是最小值。

３.函数的最值与极值的关系

1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言;

2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小)值可能有多个(或者没有）,但最大(小）值只有一个（或者

没有);

3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点;

4)对于可导函数，函数的最大（小)值必在极大（小)值点或区间端点处取得.

三、生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数是求函数

最值问题的有力工具．

解决优化问题的基本思路是：

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考向一利用导数研究函数的单调性

1．利用导数判断或证