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基于阿基米德螺线的“板凳龙”运动分析与优化研究

摘要

“板凳龙”是中国传统民间艺术的表现形式，是中华传统文化的重要载体，本文以“板凳龙”为研究对象，旨在通过数学建模的方式解析其复杂运动过程下的机理，探寻规律，提出建议，促进中华传统文化的蓬勃发展。

针对问题一，本文建立极坐标系，选取阿基米德螺线为板凳把手的轨迹曲线，建立了板凳把手的位置解析模型和速度解析模型，通过微积分的思想求算龙头的初始位置坐标，利用带约束的多值非线性方程和余弦定理两种方法递推得到每节板凳的位置坐标，基于数值近似的思想化板凳瞬时速度为平均速度，最终考虑龙格塔库法，利用MATLAB进行求解，将各个时刻各个板凳的位置和速度结果整理成附件形式，还采用了分离轴定律、GJK算法和二分法进行对比求解分析，发现其相对误差约在0.2%。

针对问题二，本文建立了碰撞冲突判定模型，模型引入角度约束有哪些信誉好的足球投注网站危险板凳，利用线性规划的思想表达危险板凳内部点坐标，利用集合的思想判断碰撞的发生，最终使用遍历、几何计算与离散化等方法进行求解，求出舞龙队恰不能继续盘入的时间为412.6s，将该时刻各个板凳的位置和速度结果整理成附件形式，还采用了交互式、二分法进行对比求解分析，求得此情况下恰不能继续盘入的时间为408.9s。

针对问题三，本文联立圆方程和阿基米德螺线方程求得两者交点，利用模型二对碰撞冲突进行检测，当冲突临界点与交点重合时有最小螺距，最终使用常微分方程、非线性方程、数值迭代、几何碰撞检测等方法求得最小螺距为44.6s，此外本文设计了一种程序能够自由输出用户输入指定时间点的运动轨迹（在自动判断时间点符合该问情况下）。

针对问题四，本文基于笛卡尔坐标系建立了调头平面几何模型，首先确定了螺旋线交点处切线的斜率，然后利用三点共线、正弦定理等方法严格证明了若舞龙队一进入调头区域就调头，无论两段圆弧如何调整，调头曲线长度恒为定值，值为23.5619m，不存在比题目所给方式更优的方案，本文尝试使用遍历方法求解调头曲线最短情况、使用退火算法求取可能存在的更优解情况，结果均提示不存在，与数学证明结果相互印证。对于板凳龙盘入后运动一段时间再调头的情况，本文利用MATLAB综合采用遍历有哪些信誉好的足球投注网站法及二分法求解出圆求解出圆弧比例为2时的最短调头曲线长度为8.5719米、最小调头圆形区域半径为4.2679米；弧比例为1时的最短调头曲线长度为7.9045米、最小调头圆形区域半径为2.8337米，且分析发现运动此段时间走的弧度与调头曲线最短无关，在此情况下利用遍历方法给出了题目所需时间范围内各个板凳的位置和速度结果，整理成附件形式。

针对问题五，本文构建了以龙头行径速度为决策变量、以龙头行径速度最大为目标函数、以龙队各把手的速度不超过2m/s、龙队各把手的行径路线固定为约束条件建立了单目标非线性优化模型，最终利用路径离散化、二分法解得当舞龙队各把手速度均不超过2m/s时，龙头最大速度为1.2595m/s。

本文的创新之处在于引入重心、摩擦力并综合其他因素建立了新的公式和模型，给出了一种评价方法，用于评价因素对于模型的影响，本质为多目标优化问题，通过人为对变量参数赋值，采用熵权法、灰狼算法进行求解，最终为相关管理人员提供了实际的舞龙活动下的路径设置建议。

关键词：板凳龙；阿基米德螺线；数值仿真；几何优化；递推算法；综合评价

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一、问题重述

在浙闽地区的元宵节，人们将几十甚至上百条的板凳首尾相连，前领头为龙头，龙身和龙尾相随，在街道、广场穿行盘旋，盘成一条由板凳组成的圆盘状的龙，即“板凳龙”、“盘龙”。在不考虑盘龙队等人为不确定影响的情况下，盘龙面积越小、行进速度越快，则观赏效果越好。如图1、2、3即为板凳龙组成尺寸。

27.5cm27.5cm30cm第2个孔，孔径5.5cm

27.5cm

27.5cm

30cm

第2个孔，孔径5.5cm

第1个孔，孔径5.5cm

341cm

220cm图1龙头的俯视图

220cm

27.5cm

。J第2个孔，

孔径5.5cm

30

cm

第1个孔，

27.5cm

孔径5.5cm

图2