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线性代数与空间解析几何

1、为什么要学习这门课?

“线性代数与空间解析几何”对传统内容进行了重新处理,特

别是代数与几何的结合,将矩阵的初等变换作为贯穿全书的计

算和重要的理论推导工具,注重不同知识点与重要理论的内在

本质联系,将几何空间、n维向量空间到抽象线性空间概念的

建立从特殊到一般进行铺垫,精选了大量的应用实例,注重将

数学建模思想融入课程教学等。这使得“线性代数与空间解析

几何”在理论体系的处理上更加科学简洁、深入浅出、可读性

强、易教易学。

2、这门课的主要内容是什么?

“线性代数与空间解析几何”主要内容包括矩阵及其初等变

换、行列式、几何空间、“维向量空间、特征值与特征向量、

二次型与二次曲面、线性空间与线性变换等。本课程每章内容

自成体系,完全满足教育部大学数学课程教学指导委员会制订

的工科类线性代数与空间解析几何课程教学要求,也可以作为

独立章节学习的参考资料。

3、学习这门课可以获得什么?

在“线性代数与空间解析几何”的学习过程中,我们可以发现

线性代数和空间解析几何中有很多相似之处,确切的说是线性

代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。如

通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行

列式,使行列式有了几何意义,同时是行列式直观化。也是通

过行列式,多元方程组的解答更便捷、快速。又比如在线性代

数中先后提出来线性空间、欧氏空间。线性空间也将向量做了

推广,使向量抽象化。欧氏空间也在线性空间的基础上提出内

积,使几何空间中的向量的一些度量性质推广化,等等,这样

的例子很多很多。总体来说线性代数与空间解析几何是相互联

系、相互促进的。可以更确切一点的说是空间解析几何是线性

代数的基石,而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象

化。

4、这门课有什么特色?

线性代数是代数的一个分支,它以研究向量空间与线性映射为

对象;由于费尔马和笛卡儿的工作,线性代数基本上出现于十

七世纪。直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空

间。十九世纪上半叶才完成了到维向量空间的过渡。矩阵论始

于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶

点.1888年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向

量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最

一般的向量空间中.线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱

矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依赖于基的选择。不

用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域,这就引向

模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整

理了十九世纪所研究过的情况。由于它的简便,所以就代数在

数学和物理的各种不同分支的应用来说,线性代数具有特殊的

地位.此外它特别适用于电子计算机的计算,所以它在数值分

析与运筹学中占有重要地位。

空间解析几何以坐标法和向量法为主要研究工具,用代数方法

研究几何图形的几何。起源于16世纪,由于生产和科技的发

展,天文学、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需求。

比如德国天文学家开普勒发现,行星沿着一个椭圆绕太阳运

行,太阳在这个椭圆的一个焦点上;意大利科学家伽利略发现

投掷物体测试抛物线运动。这些发现都涉及圆锥曲线。为了研

究这些复杂的曲线,原有的一套方法显然已经不适用,这就导

致了解析几何的出现。线性代数用矩阵和向量来研究变量之间

的线性关系。因此,空间解析几何与线性代数密切相关。实际

上,几何为线性代数中的许多概念和理论提供了几何背景或几

何解释,线性代数为解决几何问题提供了有效的方法。

5、本次讲授有什么亮点?

为了满足新世纪科技人才对数学素质的要求,针对目前高等院

校(特别是一般本科院校)的教学实际,本门课程的教学内容的

安排及要求需注意以下几点:

一)抓住课程本质,选择合理的课程教学内容与体系结构.在

保证教材内容科学性的前提下,本课程内容的安排应由浅入深

的内容次序以及简捷、直观的理论体系;从线性方程组解的三

种不同情况出发,直观地建立相关的定理,从而降低向量线性

相关性研究的抽象性与复杂性;根据需要可构作一些新的引理

与定理,定理的证明应尽量简便.几何与代数内容有机结合,

从三维向量空间到n维向量空间的应自然过渡;在空间解析几

何部分可构作一些典型的例子,成为向量线性相关性及向量空

间的正交性等抽象概念的引例.

二)强调矩阵初等变换的突出作用.矩阵的初等变换是整个课

程的一重要方法,应在尽可能多的场合,反复使用矩阵初等变

换来解决相关的计算问题,使它成为贯穿全书的计算工具.同

时,不少定理的理论推导尽可能使用矩阵初等变换,以便定理

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