专题一 第2讲学习资料.docx

第2讲三角恒等变换与解三角形(小题)

热点一三角恒等变换

1.三角求值“三大类型”

“给角求值”“给值求值”“给值求角”.

2.三角恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等.

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化.

例1(1)(2019·自贡模拟)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则sin2x等于()

A.eq\f(7,9)B.－eq\f(7,9)C.eq\f(1,3)D.－eq\f(1,3)

答案A

解析sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))

＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).

(2)若α，β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosβ等于()

A.eq\f(2\r(5),25) B.eq\f(2\r(5),5)

C.eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)或eq\f(\r(5),25)

答案A

解析因为α，β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)eq\f(1,2)，

所以eq\f(π,3)αeq\f(π,2)，

又sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，而eq\f(1,2)eq\f(3,5)eq\f(\r(2),2)，

所以eq\f(3π,4)α＋βeq\f(5π,6)，

所以cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2?α＋β?)＝－eq\f(4,5)，

sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，

cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝eq\f(2\r(5),25).

(3)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于()

A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)

C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)

答案C

解析因为α，β均为锐角，所以－eq\f(π,2)α－βeq\f(π,2).

又sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，所以cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).

又sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝eq\f(2\r(5),5)，

所以sinβ＝sin[α－(α－β)]

＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)

＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(\r(2),2).

所以β＝eq\f(π,4).

跟踪演练1(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2018π,3)))等于()

A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)

C.－eq\f(2,3) D.－eq\f(1,3)

答案D

解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2018π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,3)＋672π))，

＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,3)))，

∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，

∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4